Индукционный: Что такое индукционная плита и как она работает | Плиты и варочные поверхности | Блог

Что такое индукционная плита и как она работает | Плиты и варочные поверхности | Блог

Приготовление на индукционной панели напоминает магию — жар готовки находится только внутри посуды, вокруг же — ни намека на тепло. О технологиях, используемых в индукционных варочных панелях для того, чтобы получить эту магию, и пойдет речь.

Индукция в деталях

Способность электрического тока возникать в проводнике при пересечении им силовых линий магнитного поля, была замечена Майклом Фарадеем в 1831 году. Открытие электромагнитной индукции дало старт золотой эре разработки электрических машин переменного тока (генераторов, электродвигателей и трансформаторов), определяющих комфортную жизнь человечества по сей день.

В ходе конструирования первых образцов электрических машин и аппаратов, изобретатели столкнулись с проблемой нагрева их «железа», что приводило к существенным потерям энергии (вследствие ее преобразования в тепловую) и общему снижению КПД агрегатов.

Несколько позже Фарадей описал природу возникновения электрического тока не только на поверхности проводника, но и в толще материала с точки зрения открытого им явления. Данные токи были названы вихревыми, поскольку возникают в перпендикулярной магнитному потоку плоскости и имеют круговую природу протекания. Позже они были названы токами Фуко, в честь ученого, посвятившего жизнь их исследованию.

В 1841 году ученые Джеймс Джоуль и Эмиль Ленц, проводя исследования независимо друг от друга, пришли к выводу, что количество тепловой энергии, выделяемой проводником при протекании по нему электрического тока, находится в прямой зависимости от плотности электрического тока и напряженности электрического поля.

Формулирование этого закона дало понимание природы нагрева металлических сердечников трансформаторов и железа статоров и роторов электрических машин, а также дало толчок в разработке методик по снижению влияния вихревых токов на работу электрических машин и аппаратов.

Вихревые токи считаются паразитными. При конструировании электрических аппаратов с ними нещадно борются, стараясь минимизировать их влияние на работу устройства. К примеру, в трансформаторах магнитопровод изготавливают из тонких металлических пластин, изолированных друг от друга. Так же поступают при производстве железа статора электрических машин переменного тока.

В случае с индукционными печами, токи Фуко — основная компонента, позволяющая получать потрясающие результаты, поэтому их всячески «культивируют» и усиливают.

Помещение металла в переменное магнитное поле позволяет получить его нагрев за счет возникновения в нем вихревых токов.

Это свойство дало жизнь целому семейству устройств — индукционным печам, используемым как в промышленности (получение сверхчистых (без примесей) сплавов, сварка, пайка и плавка металлов и т. д.), так и в быту (приготовление пищи). Причем было замечено, что с повышением частоты переменного магнитного поля, процессы возникновения вихревых токов интенсифицируются, позволяя получать более быстрый нагрев помещенного в него материала.

Устройство и принцип действия индукционной варочной панели

Варочная поверхность индукционного типа состоит из следующих основных частей:

• индуктора;
• выпрямителя;
• инвертора;
• вентилятора;
• платы управления.

Работает индукционная панель следующим образом. Сетевое переменное напряжение выпрямляется и поступает на вход инвертора. В нем оно снова преобразуется в переменное, но уже со значительно большей частотой. Как правило, для работы индукционных варочных плит используется диапазон частот от 20 кГц до 120 кГц.

Нижний порог выбран неспроста: это именно то значение частоты, выше которого ухо человека не способно уловить звуковые вибрации. Чтобы не причинять пользователям дискомфорта неприятным звуком, нижний порог частоты не может быть ниже 20 кГц.

В процессе работы электронные компоненты инвертора и индукторов довольно сильно греются, поэтому плата инвертора принудительно обдувается потоком воздуха, нагнетаемого вентилятором.

Индуктором, представляющим собой катушку, намотанную из медного многожильного провода в форме конфорки, формируется переменное магнитное поле высокой частоты.

Регулирование мощности нагрева в индукционных печах может происходить двумя способами:

• циклическим включением индуктора на полную мощность. Частота включений зависит от необходимой температуры нагрева пищи при приготовлении. Ее получают с термодатчиков, установленных под наружной поверхностью печи. При этом частота магнитного поля конфорки остается неизменной;
• изменением частоты магнитного поля. Чем выше частота, тем большее количество вихревых токов индуцируется в посуде. Следовательно, можно получить большую температуру нагрева ее поверхности. Как правило, регулирование мощности конфорки укладывается в тот же диапазон частот: 20 кГц – 120 кГц.

В недорогих моделях для регулирования мощности нагрева применяется циклический способ регулирования мощности.

В более продвинутых — изменение частоты.

Когда металлическую посуду ставят на конфорку, в толще материала возникают вихревые токи, которые и обеспечивают ее нагрев. По сути дно кастрюли или сковородки выступает в качестве вторичной обмотки трансформатора (короткозамкнутой) и является отличной средой для возникновения токов Фуко.

Здесь следует сделать одно важное отступление и рассказать о скин-эффекте, иначе именуемом поверхностным эффектом.

Любой электрический ток при протекании по проводнику создает вокруг него электромагнитное поле. Это же касается и вихревых токов. Магнитные поля, взаимодействуя друг с другом, вытесняют электроны из толщи материала на его поверхность, именуемую скин-слоем, и электрический ток проходит больше по поверхности проводника, чем в его внутренних слоях. Объемная плотность тока в скин-слое значительно выше, чем в его толще. Известно, что с увеличением глубины проникания в материал, амплитуда вихревых токов уменьшается и они гораздо хуже осуществляют нагрев. Использование материала с тонким скин-слоем позволяет получить более высокие температуры его поверхностного нагрева.

Толщина скин-слоя находится в обратной зависимости от частоты переменного магнитного поля, т. е. с ростом частоты толщина слоя уменьшается, что позволяет получить более высокую плотность тока и более эффективный нагрев поверхности проводника.

Каждый материал обладает своей структурой строения кристаллической решетки, от свойств которой зависят его проводимость и толщина скин-слоя. К примеру, в диапазоне частот 20 кГц – 120 кГц (стандартные частоты работы конфорок индукционной панели) толщина скин-слоя стали на порядок меньше толщины слоев меди или алюминия.

К чему это все? А к тому, какой материал необходимо использовать для изготовления посуды, пригодной для индукционных печей. И какую посуду использовать в принципе.

Только металлы с ферромагнитными свойствами смогут обеспечить нужные температуры нагрева дна посуды и подойдут для готовки еды, а не ее медленного разогрева.

Поэтому для индукции нужна посуда, к которой прилипает магнит. Это не прихоть производителя, а объективная необходимость!

Дальше все просто. Вихревые токи, вызванные высокочастотным магнитным полем, индуцируются на внутренней поверхности дна посуды. Именно она контактирует с продуктами и нагревает их, отдавая им тепловую энергию. Этим и объясняется высокая скорость нагрева на индукционных варочных поверхностях.

Конечно, за счет теплопроводности металла нагреется и сама посуда, и варочная поверхность, но это будут не сотни градусов. Поэтому готовить можно, даже застелив конфорку салфеткой — она не загорится, температуры просто не хватит для воспламенения.

Попавшие на поверхность продукты не пригорят к ней по той же причине.

Магия? Зная, как работает индукционная поверхность, понимаешь — это не такая уж и магия. Обычная физика!

Значение слова ИНДУКЦИОННЫЙ. Что такое ИНДУКЦИОННЫЙ?

• ИНДУКЦИО́ННЫЙ, —ая, —ое. Физ. Прил. к индукция (во 2 знач.), возникший вследствие индукции.

  Индукционный ток.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

• индукцио́нный

  1. связанный, соотносящийся по значению с существительным индукция ◆ Для нагрева слитков перед прессованием на металлургических заводах широко используется индукционный нагрев. Жаворонков Н.М., «Легкие и жаропрочные сплавы и их обработка», 1986 г.

Источник: Викисловарь

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: замарать — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Положительное

Отрицательное

индукционный — Викисловарь

падеж		ед. ч.			мн. ч.
		муж. р.	ср. р.	жен. р.
Им.		индукцио́нный	индукцио́нное	индукцио́нная	индукцио́нные
Рд.		индукцио́нного	индукцио́нного	индукцио́нной	индукцио́нных
Дт.		индукцио́нному	индукцио́нному	индукцио́нной	индукцио́нным
Вн.	одуш.	индукцио́нного	индукцио́нное	индукцио́нную	индукцио́нных
	неод.	индукцио́нный			индукцио́нные
Тв.		индукцио́нным	индукцио́нным	индукцио́нной индукцио́нною	индукцио́нными
Пр.		индукцио́нном	индукцио́нном	индукцио́нной	индукцио́нных
Кратк. форма		индукцио́нен	индукцио́нно	индукцио́нна	индукцио́нны

Индукционный нагрев, основные принципы и технологии.

1 августа 2013

Индукционный нагрев (Induction Heating) — метод бесконтактного нагрева токами высокой частоты (англ. RFH — radio-frequency heating, нагрев волнами радиочастотного диапазона) электропроводящих материалов.

Описание метода.

Индукционный нагрев — это нагревание материалов электрическими токами, которые индуцируются переменным магнитным полем. Следовательно — это нагрев изделий из проводящих материалов (проводников) магнитным полем индукторов (источников переменного магнитного поля). Индукционный нагрев проводится следующим образом. Электропроводящая (металлическая, графитовая) заготовка помещается в так называемый индуктор, представляющий собой один или несколько витков провода (чаще всего медного). В индукторе с помощью специального генератора наводятся мощные токи различной частоты (от десятка Гц до нескольких МГц), в результате чего вокруг индуктора возникает электромагнитное поле. Электромагнитное поле наводит в заготовке вихревые токи. Вихревые токи разогревают заготовку под действием джоулева тепла (см. закон Джоуля-Ленца).

Система «индуктор-заготовка» представляет собой бессердечниковый трансформатор, в котором индуктор является первичной обмоткой. Заготовка является вторичной обмоткой, замкнутой накоротко. Магнитный поток между обмотками замыкается по воздуху.

На высокой частоте вихревые токи вытесняются образованным ими же магнитным полем в тонкие поверхностные слои заготовки Δ (Поверхностный-эффект), в результате чего их плотность резко возрастает, и заготовка разогревается. Нижерасположенные слои металла прогреваются за счёт теплопроводности. Важен не ток, а большая плотность тока. В скин-слое Δ плотность тока уменьшается в e раз относительно плотности тока на поверхности заготовки, при этом в скин-слое выделяется 86,4 % тепла (от общего тепловыделения. Глубина скин-слоя зависит от частоты излучения: чем выше частота, тем тоньше скин-слой. Также она зависит от относительной магнитной проницаемости μ материала заготовки.

Для железа, кобальта, никеля и магнитных сплавов при температуре ниже точки Кюри μ имеет величину от нескольких сотен до десятков тысяч. Для остальных материалов (расплавы, цветные металлы, жидкие легкоплавкие эвтектики, графит, электролиты, электропроводящая керамика и т. д.) μ примерно равна единице.

Например, при частоте 2 МГц глубина скин-слоя для меди около 0,25 мм, для железа ≈ 0,001 мм.

Индуктор сильно нагревается во время работы, так как сам поглощает собственное излучение. К тому же он поглощает тепловое излучение от раскалённой заготовки. Делают индукторы из медных трубок, охлаждаемых водой. Вода подаётся отсасыванием — этим обеспечивается безопасность в случае прожога или иной разгерметизации индуктора.

Применение:
Сверхчистая бесконтактная плавка, пайка и сварка металла.
Получение опытных образцов сплавов.
Гибка и термообработка деталей машин.
Ювелирное дело.
Обработка мелких деталей, которые могут повредиться при газопламенном или дуговом нагреве.
Поверхностная закалка.
Закалка и термообработка деталей сложной формы.
Обеззараживание медицинского инструмента.

Преимущества.

Высокоскоростной разогрев или плавление любого электропроводящего материала.

Возможен нагрев в атмосфере защитного газа, в окислительной (или восстановительной) среде, в непроводящей жидкости, в вакууме.

Нагрев через стенки защитной камеры, изготовленной из стекла, цемента, пластмасс, дерева — эти материалы очень слабо поглощают электромагнитное излучение и остаются холодными при работе установки. Нагревается только электропроводящий материал — металл (в том числе расплавленный), углерод, проводящая керамика, электролиты, жидкие металлы и т. п.

За счёт возникающих МГД усилий происходит интенсивное перемешивание жидкого металла, вплоть до удержания его в подвешенном состоянии в воздухе или защитном газе — так получают сверхчистые сплавы в небольших количествах (левитационная плавка, плавка в электромагнитном тигле).

Поскольку разогрев ведётся посредством электромагнитного излучения, отсутствует загрязнение заготовки продуктами горения факела в случае газопламенного нагрева, или материалом электрода в случае дугового нагрева. Помещение образцов в атмосферу инертного газа и высокая скорость нагрева позволят ликвидировать окалинообразование.

Удобство эксплуатации за счёт небольшого размера индуктора.

Индуктор можно изготовить особой формы — это позволит равномерно прогревать по всей поверхности детали сложной конфигурации, не приводя к их короблению или локальному непрогреву.

Легко провести местный и избирательный нагрев.

Так как наиболее интенсивно разогрев идет в тонких верхних слоях заготовки, а нижележащие слои прогреваются более мягко за счёт теплопроводности, метод является идеальным для проведения поверхностной закалки деталей (сердцевина при этом остаётся вязкой).

Лёгкая автоматизация оборудования — циклов нагрева и охлаждения, регулировка и удерживание температуры, подача и съём заготовок.

Установки индукционного нагрева:

На установках с рабочей частотой до 300 кГц используют инверторы на IGBT-сборках или MOSFET-транзисторах. Такие установки предназначены для разогрева крупных деталей. Для разогрева мелких деталей используются высокие частоты (до 5 МГц, диапазон средних и коротких волн), установки высокой частоты строятся на электронных лампах.

Также для разогрева мелких деталей строятся установки повышенной частоты на MOSFET-транзисторах на рабочие частоты до 1,7 МГц. Управление транзисторами и их защита на повышенных частотах представляет определённые трудности, поэтому установки повышенной частоты пока ещё достаточно дороги.

Индуктор для нагрева мелких деталей имеет небольшие размеры и небольшую индуктивность, что приводит к уменьшению добротности рабочего колебательного контура на низких частотах и снижению КПД, а также представляет опасность для задающего генератора (добротность колебательного контура пропорциональна L/C, колебательный контур с низкой добротностью слишком хорошо «накачивается» энергией, образует короткое замыкание по индуктору и выводит из строя задающий генератор). Для повышения добротности колебательного контура используют два пути:
— повышение рабочей частоты, что приводит к усложнению и удорожанию установки;
— применение ферромагнитных вставок в индукторе; обклеивание индуктора панельками из ферромагнитного материала.

Так как наиболее эффективно индуктор работает на высоких частотах, промышленное применение индукционный нагрев получил после разработки и начала производства мощных генераторных ламп. До первой мировой войны индукционный нагрев имел ограниченное применение. В качестве генераторов тогда использовали машинные генераторы повышенной частоты (работы В. П. Вологдина) или искровые разрядные установки.

Схема генератора может быть в принципе любой (мультивибратор, RC-генератор, генератор с независимым возбуждением, различные релаксационные генераторы), работающей на нагрузку в виде катушки-индуктора и обладающей достаточной мощностью. Необходимо также, чтобы частота колебаний была достаточно высока.

Например, чтобы «перерезать» за несколько секунд стальную проволоку диаметром 4 мм, необходима колебательная мощность не менее 2 кВт при частоте не менее 300 кГц.

Выбирают схему по следующим критериям: надёжность; стабильность колебаний; стабильность выделяемой в заготовке мощности; простота изготовления; удобство настройки; минимальное количество деталей для уменьшения стоимости; применение деталей, в сумме дающих уменьшение массы и габаритов, и др.

На протяжении многих десятилетий в качестве генератора высокочастотных колебаний применялась индуктивная трёхточка (генератор Хартли, генератор с автотрансформаторной обратной связью, схема на индуктивном делителе контурного напряжения). Это самовозбуждающаяся схема параллельного питания анода и частотно-избирательной цепью, выполненной на колебательном контуре. Она успешно использовалась и продолжает использоваться в лабораториях, ювелирных мастерских, на промышленных предприятиях, а также в любительской практике. К примеру, во время второй мировой войны на таких установках проводили поверхностную закалку катков танка Т-34.

Недостатки трёх точки:

Низкий кпд (менее 40 % при применении лампы).

Сильное отклонение частоты в момент нагрева заготовок из магнитных материалов выше точки Кюри (≈700С) (изменяется μ), что изменяет глубину скин-слоя и непредсказуемо изменяет режим термообработки. При термообработке ответственных деталей это может быть недопустимо. Также мощные твч-установки должны работать в узком диапазоне разрешённых Россвязьохранкультурой частот, поскольку при плохом экранировании являются фактически радиопередатчиками и могут оказывать помехи телерадиовещанию, береговым и спасательным службам.

При смене заготовок (например, более мелкой на более крупную) изменяется индуктивность системы индуктор-заготовка, что также приводит к изменению частоты и глубины скин-слоя.

При смене одновитковых индукторов на многовитковые, на более крупные или более малогабаритные частота также изменяется.

Под руководством Бабата, Лозинского и других учёных были разработаны двух- и трёхконтурные схемы генераторов, имеющих более высокий кпд (до 70 %), а также лучше удерживающие рабочую частоту. Принцип их действия состоит в следующем. За счёт применения связанных контуров и ослабления связи между ними, изменение индуктивности рабочего контура не влечёт сильного изменения частоты частотозадающего контура. По такому же принципу конструируются радиопередатчики.

Недостаток многоконтурных систем — повышенная сложность и возникновение паразитных колебаний УКВ-диапазона, которые бесполезно рассеивают мощность и выводят из строя элементы установки. Также такие установки склонны к затягиванию колебаний — самопроизвольному переходу генератора с одной из резонансных частот на другую.

Современные твч-генераторы — это инверторы на IGBT-сборках или мощных MOSFET-транзисторах, обычно выполненные по схеме мост или полумост. Работают на частотах до 500 кГц. Затворы транзисторов открываются с помощью микроконтроллерной системы управления. Система управления в зависимости от поставленной задачи позволяет автоматически удерживать

а) постоянную частоту
б) постоянную мощность, выделяемую в заготовке
в) максимально высокий КПД.

Например, при нагреве магнитного материала выше точки Кюри толщина скин-слоя резко увеличивается, плотность тока падает, и заготовка начинает греться хуже. Также пропадают магнитные свойства материала и прекращается процесс перемагничивания — заготовка начинает греться хуже, сопротивление нагрузки скачкообразно уменьшается — это может привести к «разносу» генератора и выходу его из строя. Система управления отслеживает переход через точку Кюри и автоматически повышает частоту при скачкообразном уменьшении нагрузки (либо уменьшает мощность).

Замечания.

Индуктор по возможности необходимо располагать как можно ближе к заготовке. Это не только увеличивает плотность электромагнитного поля вблизи заготовки (пропорционально квадрату расстояния), но и увеличивает коэффициент мощности Cos(φ).

Увеличение частоты резко уменьшает коэффициент мощности (пропорционально кубу частоты).

При нагреве магнитных материалов дополнительное тепло также выделяется за счет перемагничивания, их нагрев до точки Кюри идет намного эффективнее.

При расчёте индуктора необходимо учитывать индуктивность подводящих к индуктору шин, которая может быть намного больше индуктивности самого индуктора (если индуктор выполнен в виде одного витка небольшого диаметра или даже части витка — дуги).

Имеются два случая резонанса в колебательных контурах: резонанс напряжений и резонанс токов.
Параллельный колебательный контур – резонанс токов.
В этом случае на катушке и на конденсаторе напряжение такое же, как у генератора. При резонансе, сопротивление контура между точками разветвления становится максимальным, а ток (I общ) через сопротивление нагрузки Rн будет минимальным (ток внутри контура I-1л и I-2с больше чем ток генератора).

В идеальном случае полное сопротивление контура равно бесконечности — схема не потребляет тока от источника. При изменение частоты генератора в любую сторону от резонансной частоты полное сопротивление контура уменьшается и линейный ток (I общ) возрастает.

Последовательный колебательный контур – резонанс напряжений.

Главной чертой последовательного резонансного контура является то, что его полное сопротивление минимально при резонансе. (ZL + ZC – минимум). При настройке частоты на величину, превышающую или лежащую ниже резонансной частоты, полное сопротивление возрастает.
Вывод:
В параллельном контуре при резонансе ток через выводы контура равен 0, а напряжение максимально.
В последовательном контуре наоборот — напряжение стремится к нулю, а ток максимален.

Статья взята с сайта http://dic.academic.ru/ и  переработана в более понятный для читателя текст, компанией ООО «Проминдуктор».

Индукционные нагреватели (котлы) — варианты конструкций

За последние 10-15 лет индукционные нагреватели на токах промышленной частоты приобрели широкое распространение. Впрочем, заявляемые производителями высокие потребительские качества индукционных нагревателей, такие как надежность, неприхотливость, экономичность находят подтверждение в условиях реальной эксплуатации. Но при этом почти каждый производитель демонстрирует очередной патент и заявляет, что его индукционный нагреватель – «самый индукционный». Давайте попробуем разобраться, что объединяет, а что различает индукционные нагреватели разных производителей.

►См. Индукционные нагреватели в нашем каталоге

ИНДУКЦИОННЫЕ НАГРЕВАТЕЛИ: ЧТО ОБЩЕГО?

Как бы это банально ни звучало, но общее в индукционных нагревателях – это индукционный способ нагрева. Мы уже рассматривали подробно принцип работы индукционных нагревателей и их отличие от других типов электронагревателей.

Любой индукционный нагреватель будет состоять из первичной обмотки (катушки индуктивности) и вторичной обмотки – теплообменного устройства. Теплообменное устройство представляет собой короткозамкнутый виток, который разогревается под воздействием переменного магнитного поля, индуцируемого катушками индуктивности (отсюда, собственно, само название – «индукционный нагреватель»). В общем виде, принцип можно проиллюстрировать так:

Причем, что интересно, запатентовать этот принцип невозможно – он основан на элементарных физических законах и доступен каждому. Так, например, энергетикам известно такое свойство трансформатора как его разогрев в процессе работы. Только в случае с трансформатором выделение тепла – это головная боль для энергетиков, в конструкции же индукционного нагревателя это свойство возведено в абсолют, и сегодня производители заявляют о достижении ими КПД 98, а то и все 99%. Производители вообще любят показатель КПД, потому что этот показатель – относительный, а следовательно можно заявлять что угодно, и при этом не бояться ответственности: при определенных условиях можно заявить, что КПД вообще 100% — на то он и относительный коэффициент.

Индукционные нагреватели: единство и борьба противоположностей

Так в чем же тогда эти запатентованные различия? Оказывается, главным образом, в конструкции теплообменника. Конечно, есть различия и в конструкции магнитопроводов и в конструкции катушек – они могут быть вытянутыми, сплющенными, могут отличаться материалом провода и количеством витков, однако суть от этого не поменяется. Задача первичной обмотки – генерировать переменное магнитное поле, и в любом нагревателе она с этим справляется. Так что в способе нагрева различий у индукционных нагревателей разных производителей практически нет. Зато существенные различия заключаются в конструкциях теплообменников. Что интересно, общепринятой классификации в настоящее время не существует, поэтому возьмем на себя смелость предложить свою собственную, итак:

1. Индукционный нагреватель кожухового типа
2. Индукционный нагреватель с трубчатым теплообменником
3. Индукционный нагреватель с объемным теплообменником (электронагреватель индуктивно-кондуктивного типа – именно так называет его сам производитель)

Индукционный нагреватель  кожухового типа

Начнем с первого – «индукционного нагревателя кожухового типа». Производители таких нагревателей называют их иначе, но в данной статье нам интересны не названия, а принцип нагрева.

Мы назвали этот тип индукционных нагревателей «кожуховым» потому что внешне этот тип отличается от остальных тем, что производители помещают конструкцию нагревателя (т.е. индуктор и теплообменник) внутрь кожуха цилиндрической формы. Внешне он даже чем-то напоминает электродный котел, однако отличается от последнего способом нагрева теплоносителя.

Внутри кожуха размещен вытянутый индуктор, внутри и снаружи которого располагается теплообменник, нагревающийся под воздействием электромагнитного поля. Проходя через теплообменник, вода нагревается и подается в систему отопления.

Преимущества конструкции:

1. Более компактен, имеет меньшие габариты и массу чем остальные типы индукционных нагревателей. Есть мнение, что эстетически он также выглядит лучше, но это спорно, во-первых, и не является определяющим для промышленного нагревателя – во-вторых.
2. Менее материалоемок (теплообменное устройство состоит из «черного» металла марки Ст3сп) по сравнению с другими представителями класса, а потому у него ниже себестоимость и, соответственно, цена приобретения.
3. Может размещаться на стене (другие индукционные нагреватели – только напольного исполнения)

Недостатки конструкции:

1. Изготовление теплообменника из обычного металла удешевляет конструкцию, но делает ее элементы более подверженными коррозии, особенно в периоды профилактических работ и слива теплоносителя.
2. Конструкция теплообменника такова, что она оказывает повышенное гидродинамическое сопротивление, вследствие чего снижается скорость теплоносителя, при поступлении его внутрь. Это может приводить сразу к двум неприятностям: во-первых, к осаждению загрязнений, имеющихся в теплоносителе, в нижней части нагревателя и, в дальнейшем, еще большему затруднению протока и, во-вторых, к снижению теплосъема с поверхности теплообменника. Вообще, конструкция таких нагревателей предполагает довольно высокую плотность теплового потока – 9-10 Вт/см² и ухудшение теплопередачи вызовет кипение в пограничном слое теплоносителя. Это чревато ускоренным осаждением накипи в таких местах (по сути – по всей площади теплообменника), а также к дальнейшему снижению теплопередачи и, в конце концов, к перегреву греющего контура.
3. Недостаток из предыдущего пункта усугубляется тем, что конструкция неремонтопригодна – стоимость и сроки ремонта будут примерно такими же, как и стоимость, и сроки на приобретение нового нагревателя.
4. Также вертикальное расположение теплообменника приводит к тому, что растворенные в теплоносителе газы и воздух, в процессе нагрева, будут собираться в верхней части теплообменника, вытесняя оттуда теплоноситель, что может привести к местному перегреву теплообменника из-за отсутствия необходимого теплосъема, а теплонагруженность нагревателя, как мы указывали выше, достаточно велика.
5. Несмотря на то, что одним из главных преимуществ электронагревателей индукционного типа является обеспечение 2-го класса защиты от поражения электрическим током (т.е. практически абсолютная защита даже без заземления), к конструкции этого типа нагревателей эта особенность, увы, не относится, поскольку в случае нарушения изоляции обмоток индуктора, теплоноситель окажется под напряжением – точно так же, как и ТЭНовый котел.
6. Индукционные нагреватели кожухового типа ограничены в мощности и температуре нагрева. Мощность единичного нагревателя, как правило, не превышает 70-100 кВт, а максимальная температура теплоносителя – 100-110 °С (впрочем, для обычной системы отопления этого достаточно). Ограничение по мощности приводит к необходимости параллельной установки нескольких нагревателей.

Вывод: конструкция индукционных нагревателей кожухового типа получила достаточно широкое распространение, главным образом, благодаря простоте изготовления, относительно низкой себестоимости (а, следовательно, отпускной цены) и системе распределения через дилеров (маржинальность продукта позволяет делиться ею с посредниками). Однако данный тип нагревателей лишь условно относится к нагревателям «трансформаторного» типа, и не всегда заслуженно использует в своих заявлениях те преимущества, которые присущи этому типу нагревателей.

 

Индукционный нагреватель  с трубчатым теплообменником

Если говорить откровенно, то первый коммерческий успех индукционных электронагревателей истинно трансформаторного типа, сопутствовал именно этой конструкции индукционных нагревателей, которые появились на рынке в середине 90-х годов прошлого века и получили довольно широкое распространение. В чем их особенность:

Во-первых, эти нагреватели уже не прячутся в кожух. Особенной красотой они, конечно, не блещут, но для покупателя важны другие их свойства. Во-вторых, здесь катушка индуктивности (первичная обмотка) полностью отделена от теплообменника (вторичной обмотки) что исключает поражение электрическим током: даже в случае нарушения изоляции обмоток электросеть не может замкнуться на теплоноситель, так что это настоящий 2-ой класс электробезопасности. И, наконец, в третьих, теплообменное устройство здесь представляет собой набор трубок, огибающих катушки индуктора.

В остальном, все так же как у всех остальных индукционных нагревателей – катушки возбуждают магнитное поле, которое, проходя через металл теплообменника, возбуждает в нем вихревые токи, которые его и разогревают, а потом тепло снимается теплоносителем с принудительной циркуляцией.

Преимущества конструкции:

1. Конструкция приближена к «сухому» трансформатору, а, следовательно, при должном высоком качестве производства, обладает такими свойствами как долговечность (до 100 000 часов), электрическая безопасность и высокая надежность (во всяком случае, выше чем у «кожуховых нагревателей» и многократно выше, чем у ТЭНовых нагревателей).
2. Доступность больших мощностей в единице оборудования (до 500 кВт мощности в одном нагревателе). Аналогично кожуховым индукционным нагревателям, трубчатые индукционные нагреватели также могут устанавливаться в параллель, и тогда необходимая мощность будет ограничиваться только доступностью электроэнергии и потребностью в тепловой энергии.
3. Возможность обеспечения высоких температур нагрева (до 250-300 °С), что существенно расширяет области применения нагревателей. Она уже не ограничивается областью отопления и горячего водоснабжения. При помощи высокотемпературного жидкого теплоносителя есть возможность заменять паровые системы нагрева в промышленности (реакторы, пресса и т.д.) на жидкостные, что существенно повышает надежность, безопасность и управляемость процессами нагрева.
4. Вообще, если сравнивать с ТЭНами и электродными котлами, преимуществ можно указать множество. Наша же основная задача – сравнить с другими типами конструкций индукционных нагревателей.

Недостатки конструкции:

1. Вероятно неравномерное распределение теплового потока по сечению трубы теплообменника. Из-за неравномерного омического сопротивления и поверхностного эффекта наибольшая часть тепловой энергии (рассчетно, до 70%) может выделяться всего в 30% поверхности трубы со стороны обмотки. Плотность теплового потока в этих зонах соизмерима с плотностью теплового потока обычного ТЭНа. Что может привести к локальному перегреву, парообразованию в пограничном слое теплоносителя и отложению солей на стенках трубы, с последующим ухудшением теплопередачи и, как следствие, местным перегревам. Эффект накипеобразования многократно усиливается в местах сварки труб, в связи с высокими значениями плотности тока в этих соединениях.
2. Несмотря на заявляемый коэффициент мощности 0,98, эффект повышенного рассеяния магнитных потоков вокруг трубчатых витков, скорее всего, снижает этот коэффициент до 0,9, иначе чем объяснить, что для обеспечения одной и той же тепловой мощности, нагреватели с трубчатым теплообменником имеют боле высокие потребляемые мощности и токи в обмотках? В свою очередь это приводит к повышению затрат у потребителя, поскольку ему приходится использовать провода увеличенного сечения, а также повышает себестоимость производителя (и, следовательно, цену приобретения для покупателя).
3. Трубчатый теплообменник оказывает повышенное гидродинамическое сопротивление, что приводит к необходимости установки более мощных (и дорогих) циркуляционных насосов.
4. Повышена масса нагревателя, т. к. трубчатая конфигурация теплообменника требует значительного промежутка между стержнями сердечника трансформатора. Это приводит к увеличению ярем магнитопровода трансформатора и удорожанию изделия в целом.
5. Катушки индуктора хоть и надежно пропитаны изоляцией, однако же ничем не защищены от случайного или (того хуже) целенаправленного механического воздействия, что, конечно же, не повышает надежность нагревателя.
6. Трубчатый теплообменник не ремонтопригоден, и в случае выхода из строя подлежит полной замене на заводе-производителе.

Вывод: индукционные нагреватели с трубчатым теплообменником – это в принципе первые коммерчески успешные индукционные нагреватели, и это действительно шаг вперед по сравнению с ТЭНовыми котлами и нагревателями кожухового типа и сразу два шага вперед по отношению к электродным котлам (за счет факторов безопасности). Применение трубчатого теплообменника изначально было продиктовано технологическими ограничениями и финансовыми вопросами, поскольку трубчатый теплообменник проще в производстве, чем объемный (о котором речь пойдет далее), однако он не лишен недостатков, исправить которые производителям не позволяют рамки патентных правоотношений.

Индукционный нагреватель  с объемным теплообменником

Объемный тип теплообменника, в виде опытных образцов, появился даже раньше, чем трубчатый. Однако первые конструкции были не очень удачны – пожалуй, даже нет смысла их описывать, поскольку сейчас они если и выпускаются, то кустарно. Нас будет интересовать последняя итерация конструкции, которую производитель называет также нагревателем индуктивно-кондуктивного типа. Конечно, это лишь способ позиционирования продукта, однако это название очень четко отражает сущность данного нагревателя.

Индукционные нагреватели с объемным теплообменником появились уже в XXI веке и при их создании, несомненно, были учтены недостатки всех прочих конструкций. Что же представляет собой конструкция индуктивно-кондуктивного электронагревателя с объемным теплообменником?

Как видим из рисунка, конструкция довольно сильно напоминает индукционный нагреватель с трубчатым теплообменником, однако вместо трубок здесь используется полый цилиндр, внутри которого находится индуктор. По мнению многих (и автора в том числе) индуктивно-кондуктивные индукционные нагреватели эстетически выглядят лучше, чем нагреватели с трубчатым теплообменником, поскольку объемный теплообменник выполняет и роль кожуха: внешний вид создает ощущение законченности и какой-то защищенности.

Это также полноценный индукционный нагреватель, конструкция которого роднит его с «сухим» трансформатором. И он, конечно, обладает всеми преимуществами, которые из этого вытекают: высокая надежность, долговечность, пожарная и электрическая безопасность, поскольку первичная обмотка, на которую подается напряжение, отделена от теплообменника, что исключает поражение электрическим током: это полноценный 2-ой класс электробезопасности.

Вихревые токи здесь возникают в толще металла, из которого сделан полый цилиндр. Надо сразу отметить, что само конструктивное решение повышает надежность нагревателя и его устойчивость к повреждениям. Судите сами: обмотки катушек индуктивности, которые можно легко повредить у нагревателя с трубчатым теплообменником, здесь надежно закрыты от внешнего воздействия. От упорного вредителя они, конечно, не спасут, а вот случайно повредить индуктор уже значительно сложнее.

Материал теплообменника здесь – нержавеющая сталь марки AISI-304, так что коррозия ей не грозит.

Единственное место, которое можно отнести к узким местам (и о котором любят упоминать конкуренты) – это сварные швы на теплообменнике, ведь отливать полые цилиндры без швов человечество еще, к сожалению, не научилось. Но зато человечество научилось хорошо сваривать детали. Случай с объемными теплообменниками здесь не исключение.

Преимущества конструкции:

1. Индуктивно-кондуктивный электронагреватель максимально приближен к конструкции «сухого» трансформатора, а, следовательно, обладает такими свойствами как долговечность (до 100 000 часов или, в пересчете на годы, порядка 30 лет!), электрическая безопасность, высокая надежность и все прочие преимущества по сравнению с ТЭНовыми и электродными котлами.
2. Доступность больших мощностей в единице оборудования (до 500 кВт мощности в одном нагревателе). Также существуют модификации высоковольтных индукционных котлов, которые могут обеспечить мощность нагрева свыше 6 МВт. Аналогично прочим индукционным нагревателям, индукционные нагреватели с объемным теплообменником также могут устанавливаться в параллель, и, тем самым, обеспечивать любую мощность нагрева.
3. Возможность обеспечения высоких температур нагрева (до 200-250 °С), что существенно расширяет области применения нагревателей. Это немного ниже, чем у трубчатых теплообменников, что обусловлено как раз конструкцией. Трубки обеспечивают лучшую вентиляцию и охлаждение катушек. В индукционных нагревателях с объемным теплообменником катушки закрыты, однако и температур, обеспечиваемых этими нагревателями, достаточно для многих технологических процессов (обогрев реакторов, гальванических ванн, сушильных камер, прессов и т.д.).
4. Равномерное распределение теплового потока по более развитой поверхности теплообменника гарантирует отсутствие явлений местного перегрева, отложения накипи и очень небольшой градиент температур между теплоносителем и теплообменником (не более 20 °С) что служит дополнительным аргументом в пользу надежности и пожарной безопасности нагревателя индуктивно-кондуктивного типа.
5. «Честный» высокий коэффициент мощности 0,98-0,985 благодаря более равномерному поглощению магнитного поля цилиндрическим теплообменником.
6. Более низкая масса нагревателей по сравнению с аналогичными по мощности нагревателями на трубках.

Недостатки:

1. Более высокая себестоимость материалов и высокотехнологичность производства: высокое качество и отличные потребительские свойства дешевыми не бывают.
2. Низкая маржинальность (наценка) делает продукт не интересным для посредников, поэтому продукцию необходимо заказывать только у производителя.
3. Теплообменник в большинстве случаев не ремонтопригоден, однако, риск выхода его из строя самый низкий из всех типов индукционных нагревателей. Кроме того, его замена может быть произведена эксплуатирующей организацией, а не только заводом-изготовителем.

►См. Индукционные нагреватели в нашем каталоге

Вывод: если говорить о том, что индукционные нагреватели – это следующий шаг по отношению к ТЭНовым и электродным котлам, то индуктивно-кондуктивные нагреватели с объемным теплообменником – это пример дальнейшего развития конструкции, которая, пожалуй, как никогда близка к ожидаемому идеалу. Главное, при наличии очень хорошей и энергоэффективной конструкции, — это высокая культура и качество производства, которая бы неукоснительно следовала конструкторской документации и исполняла замысел инженеров и ученых, положивших годы в создание такого сложного, но такого простого оборудования, как индукционный электронагреватель.

Индукционный, индуктивно-кондуктивный, вихревой нагреватель. Кто главный?

За последние 10-15 лет индукционные нагреватели (котлы) на токах промышленной частоты (50 Гц) приобрели широкое распространение. Впрочем, заявляемые производителями высокие потребительские качества индукционных нагревателей, такие как надежность, неприхотливость, экономичность находят подтверждение в условиях реальной эксплуатации. Но при этом почти каждый производитель демонстрирует очередной патент и заявляет, что его-то индукционный нагреватель – «самый индукционный». Давайте попробуем разобраться, что объединяет, а что различает индукционные нагреватели разных производителей.

►См. Индукционные нагреватели в нашем каталоге

Индукционные электрокотлы: что общего?

Как бы это банально ни звучало, но общее в индукционных котлых – это индукционный способ нагрева. Мы уже рассматривали подробно принцип работы индукционных нагревателей и их отличие от других типов электронагревателей.

Любой индукционный котел будет состоять из первичной обмотки (катушки индуктивности) и вторичной обмотки – теплообменного устройства. Теплообменное устройство представляет собой короткозамкнутый виток, который разогревается под воздействием переменного магнитного поля, индуцируемого катушками индуктивности (отсюда, собственно, само название – «индукционный нагреватель»). В общем виде, принцип можно проиллюстрировать так:

Причем, что интересно, запатентовать этот принцип невозможно – он основан на элементарных физических законах и доступен каждому. Так, например, энергетикам известно такое свойство трансформатора как его разогрев в процессе работы. Только в случае с трансформатором выделение тепла – это головная боль для энергетиков, в конструкции же индукционного нагревателя это свойство возведено в абсолют, и сегодня производители заявляют о достижении ими КПД 98, а то и все 99%. Производители вообще любят показатель КПД, потому что этот показатель – относительный, а следовательно можно заявлять что угодно, и при этом не бояться ответственности: при определенных условиях можно заявить, что КПД вообще 100% — на то он и относительный коэффициент.

Индукционные котлы: единство и борьба противоположностей

Так в чем же тогда эти запатентованные различия? Оказывается, главным образом, в конструкции теплообменника. Конечно, есть различия и в конструкции магнитопроводов и в конструкции катушек – они могут быть вытянутыми, сплющенными, могут отличаться материалом провода и количеством витков, однако суть от этого не поменяется. Задача первичной обмотки – генерировать переменное магнитное поле, и в любом нагревателе она с этим справляется. Так что в способе нагрева различий у индукционных нагревателей разных производителей практически нет. Зато существенные различия заключаются в конструкциях теплообменников. Что интересно, общепринятой классификации в настоящее время не существует, поэтому возьмем на себя смелость предложить свою собственную, итак:

1. Индукционный нагреватель кожухового типа (он же вихревой индукционный нагреватель)
2. Индукционный нагреватель с трубчатым теплообменником
3. Индукционный нагреватель с объемным теплообменником (электронагреватель индуктивно-кондуктивного типа – именно так называет его сам производитель)

Индукционный нагреватель  кожухового типа

Начнем с первого – «индукционного нагревателя кожухового типа». Производители таких нагревателей называют их вихревыми, но в данной статье нам интересны не названия, а принцип нагрева.

Мы назвали этот тип индукционных нагревателей «кожуховым» потому что внешне этот тип отличается от остальных тем, что производители помещают конструкцию нагревателя (т.е. индуктор и теплообменник) внутрь кожуха цилиндрической формы. Внешне он даже чем-то напоминает электродный котел, однако отличается от последнего способом нагрева теплоносителя.

Внутри кожуха размещен вытянутый индуктор, внутри и снаружи которого располагается теплообменник, нагревающийся под воздействием электромагнитного поля. Проходя через теплообменник, вода нагревается и подается в систему отопления.

Что касается магнитопровода, наличие которого характерно как для любого трансформатора, так и для любого индукционного котла трансформаторного типа, то в конструкции вихревого котла его попросту нет. Производители его убирают ради удешевления конструкции. Однако именно магнитопровод позволяет эффективно генерировать и концентрировать магнитное поле. Так что есть большие сомнения в правдивости утверждений производителей таких нагревателей в их высокой эффективности.

Преимущества конструкции:

1. Более компактен, имеет меньшие габариты и массу чем остальные типы индукционных нагревателей. Есть мнение, что эстетически он также выглядит лучше, но это спорно, во-первых, и не является определяющим для промышленного нагревателя – во-вторых.
2. Менее материалоемок (теплообменное устройство состоит из «черного» металла марки Ст3сп, а магнитопровод, как мы отметили, отсутствует) по сравнению с другими представителями класса, а потому у него ниже себестоимость и, соответственно, цена приобретения.
3. Может размещаться на стене (другие индукционные нагреватели – только напольного исполнения)

Недостатки конструкции:

1. Изготовление теплообменника из обычного металла удешевляет конструкцию, но делает ее элементы более подверженными коррозии, особенно в периоды профилактических работ и слива теплоносителя.
2. Конструкция теплообменника такова, что она оказывает повышенное гидродинамическое сопротивление, вследствие чего снижается скорость теплоносителя, при поступлении его внутрь. Это может приводить сразу к двум неприятностям: во-первых, к осаждению загрязнений, имеющихся в теплоносителе, в нижней части нагревателя и, в дальнейшем, еще большему затруднению протока и, во-вторых, к снижению теплосъема с поверхности теплообменника. Вообще, конструкция таких нагревателей предполагает довольно высокую плотность теплового потока – 9-10 Вт/см2 и ухудшение теплопередачи вызовет кипение в пограничном слое теплоносителя. Это чревато ускоренным осаждением накипи в таких местах (по сути – по всей площади теплообменника), а также к дальнейшему снижению теплопередачи и, в конце концов, к перегреву греющего контура.
3. Недостаток из предыдущего пункта усугубляется тем, что конструкция неремонтопригодна – стоимость и сроки ремонта будут примерно такими же, как и стоимость, и сроки на приобретение нового нагревателя.
4. Также вертикальное расположение теплообменника приводит к тому, что растворенные в теплоносителе газы и воздух, в процессе нагрева, будут собираться в верхней части теплообменника, вытесняя оттуда теплоноситель, что может привести к местному перегреву теплообменника из-за отсутствия необходимого теплосъема, а теплонагруженность нагревателя, как мы указывали выше, достаточно велика.
5. Несмотря на то, что одним из главных преимуществ электронагревателей индукционного типа является обеспечение 2-го класса защиты от поражения электрическим током (т.е. практически абсолютная защита даже без заземления), к конструкции этого типа нагревателей эта особенность, увы, не относится, поскольку в случае нарушения изоляции обмоток индуктора, теплоноситель окажется под напряжением – точно так же, как и ТЭНовый котел.
6. Индукционные нагреватели кожухового типа ограничены в мощности и температуре нагрева. Мощность единичного нагревателя, как правило, не превышает 70-100 кВт, а максимальная температура теплоносителя – 100-110 °С (впрочем, для обычной системы отопления этого достаточно). Ограничение по мощности приводит к необходимости параллельной установки нескольких нагревателей.

Вывод: конструкция индукционных нагревателей вихревого типа с теплообменником-кожухом получила достаточно широкое распространение, главным образом, благодаря простоте изготовления, относительно низкой себестоимости (а, следовательно, отпускной цены) и системе распределения через дилеров (маржинальность продукта позволяет делиться ею с посредниками). Однако данный тип нагревателей лишь условно относится к нагревателям «трансформаторного» типа, и не всегда заслуженно использует в своих заявлениях те преимущества, которые присущи этому типу нагревателей.

 

Индукционный нагреватель  с трубчатым теплообменником

Если говорить откровенно, то первый коммерческий успех индукционных котлов истинно трансформаторного типа, сопутствовал именно этой конструкции, которая появилась на рынке в середине 90-х годов прошлого века и получила довольно широкое распространение. В чем их особенность:

Во-первых, эти нагреватели уже не прячутся в кожух. Особенной красотой они, конечно, не блещут, но для покупателя важны другие их свойства. Во-вторых, здесь катушка индуктивности (первичная обмотка) полностью отделена от теплообменника (вторичной обмотки) что исключает поражение электрическим током: даже в случае нарушения изоляции обмоток электросеть не может замкнуться на теплоноситель, так что это настоящий 2-ой класс электробезопасности. И, наконец, в третьих, теплообменное устройство здесь представляет собой набор трубок, огибающих катушки индуктора.

В остальном – все так же как у всех остальных индукционных нагревателей – катушки возбуждают магнитное поле, которое, проходя через металл теплообменника, возбуждает в нем вихревые токи, которые его и разогревают, а потом тепло снимается теплоносителем с принудительной циркуляцией.

Преимущества конструкции:

1. Конструкция приближена к «сухому» трансформатору, а, следовательно, при должном высоком качестве производства, обладает такими свойствами как долговечность (до 100 000 часов), электрическая безопасность и высокая надежность (во всяком случае, выше чем у нагревателей, чья конструкция была рассмотрена выше, и многократно выше, чем у ТЭНовых нагревателей).
2. Доступность больших мощностей в единице оборудования (до 500 кВт мощности в одном нагревателе). Аналогично “вихревым” индукционным нагревателям, трубчатые индукционные нагреватели также могут устанавливаться в параллель, и тогда необходимая мощность будет ограничиваться только доступностью электроэнергии и потребностью в тепловой энергии.
3. Возможность обеспечения высоких температур нагрева (до 250-300 °С), что существенно расширяет области применения нагревателей. Она уже не ограничивается областью отопления и горячего водоснабжения. При помощи высокотемпературного жидкого теплоносителя есть возможность заменять паровые системы нагрева в промышленности (реакторы, пресса и т.д.) на жидкостные, что существенно повышает надежность, безопасность и управляемость процессами нагрева.
4. Вообще, если сравнивать с ТЭНами и электродными котлами, преимуществ можно указать множество. Наша же основная задача – сравнить с другими типами конструкций индукционных нагревателей.

Недостатки конструкции:

1. Вероятно неравномерное распределение теплового потока по сечению трубы теплообменника. Из-за неравномерного омического сопротивления и поверхностного эффекта наибольшая часть тепловой энергии (расчетно, до 70%) может выделяться всего в 30% поверхности трубы со стороны обмотки. Плотность теплового потока в этих зонах соизмерима с плотностью теплового потока обычного ТЭНа. Это может привести к локальному перегреву, парообразованию в пограничном слое теплоносителя и отложению солей на стенках трубы, с последующим ухудшением теплопередачи и, как следствие, местным перегревам. Эффект накипеобразования многократно усиливается в местах сварки труб, в связи с высокими значениями плотности тока в этих соединениях.
2. Несмотря на заявляемый коэффициент мощности 0,98, эффект повышенного рассеяния магнитных потоков вокруг трубчатых витков, скорее всего, снижает этот коэффициент до 0,9, иначе чем объяснить, что для обеспечения одной и той же тепловой мощности, нагреватели с трубчатым теплообменником имеют боле высокие потребляемые мощности и токи в обмотках? В свою очередь это приводит к повышению затрат у потребителя, поскольку ему приходится использовать провода увеличенного сечения, а также повышает себестоимость производителя (и, следовательно, цену приобретения для покупателя).
3. Трубчатый теплообменник оказывает повышенное гидродинамическое сопротивление, что приводит к необходимости установки более мощных (и дорогих) циркуляционных насосов.
4. Повышена масса нагревателя, так как трубчатая конфигурация теплообменника требует значительного промежутка между стержнями сердечника трансформатора. Это приводит к увеличению ярем магнитопровода трансформатора и удорожанию изделия в целом.
5. Катушки индуктора хоть и надежно пропитаны изоляцией, однако же ничем не защищены от случайного или (того хуже) целенаправленного механического воздействия, что, конечно же, не повышает надежность нагревателя.
6. Трубчатый теплообменник не ремонтопригоден, и в случае выхода из строя подлежит полной замене на заводе-производителе.

Вывод: индукционные нагреватели с трубчатым теплообменником – это, в принципе, первые коммерчески успешные индукционные нагреватели, и это действительно шаг вперед по сравнению с ТЭНовыми котлами и вихревыми нагревателями кожухового типа и сразу два шага вперед по отношению к электродным котлам (за счет факторов безопасности). Применение трубчатого теплообменника изначально было продиктовано технологическими ограничениями и финансовыми вопросами, поскольку трубчатый теплообменник проще в производстве, чем цилиндрический (о котором речь пойдет далее), однако и он не лишен недостатков, исправить которые производителям не позволяют рамки патентных правоотношений.

Индукционный нагреватель  с цилиндрическим теплообменником

►См. Индукционные нагреватели с цилиндрическим теплообменником в нашем каталоге

Цилиндрический тип теплообменника, в виде опытных образцов, появился даже раньше, чем трубчатый. Однако первые конструкции были не очень удачны – пожалуй, даже нет смысла их описывать, поскольку сейчас они если и выпускаются, то кустарно. Нас будет интересовать последняя итерация конструкции, которую производитель называет также нагревателем индуктивно-кондуктивного типа. Конечно, это лишь способ позиционирования продукта (об этом мы говорили вот в этой статье), однако это название очень четко отражает сущность данного нагревателя.

Промышленные индукционные котлы с цилиндрическим теплообменником появились уже в XXI веке и при их создании, несомненно, были учтены недостатки всех прочих конструкций. Что же представляет собой конструкция индуктивно-кондуктивного электрического нагревателя с объемным теплообменником?

Как видим из рисунка, конструкция довольно сильно напоминает индукционный электрокотел с трубчатым теплообменником, однако вместо трубок здесь используется полый цилиндр кольцевидного сечения, внутри которого находится индуктор. По мнению многих (и автора в том числе) индуктивно-кондуктивные нагреватели эстетически выглядят лучше, чем нагреватели с трубчатым теплообменником, поскольку теплообменник выполняет и роль кожуха: внешний вид создает ощущение законченности и какой-то защищенности.

Это также полноценный индукционный водонагреватель (электрокотел) с магнитопроводом, что роднит его с «сухим» трансформатором. И он, конечно, обладает всеми преимуществами, которые из этого вытекают: высокая надежность, долговечность, пожарная и электрическая безопасность, поскольку первичная обмотка, на которую подается напряжение, отделена от теплообменника, что исключает поражение электрическим током: это полноценный 2-ой класс электробезопасности.

Вихревые токи здесь возникают в толще металла, из которого сделан цилиндрический теплообменник. Надо сразу отметить, что само конструктивное решение повышает надежность нагревателя и его устойчивость к повреждениям. Судите сами: обмотки катушек индуктивности, которые можно легко повредить у нагревателя с трубчатым теплообменником, здесь надежно закрыты от внешнего воздействия. От упорного вредителя они, конечно, не спасут, а вот случайно повредить индуктор уже значительно сложнее.

Материал теплообменника здесь – нержавеющая сталь марки AISI-304, так что коррозия ей не грозит.

Единственное место, которое можно отнести к узким местам (и о котором любят упоминать конкуренты) – это сварные швы на теплообменнике, ведь отливать полые цилиндры без швов человечество еще, к сожалению, не научилось. Но зато человечество научилось хорошо сваривать детали. Случай с цилиндрическими теплообменниками здесь не исключение.

Преимущества конструкции:

1. Индуктивно-кондуктивный нагреватель максимально приближен к конструкции «сухого» трансформатора, а, следовательно, обладает такими свойствами как долговечность (до 100 000 часов или, в пересчете на годы, порядка 30 лет!), электрическая безопасность, высокая надежность и все прочие преимущества по сравнению с ТЭНовыми и электродными котлами.
2. Доступность больших мощностей в единице оборудования (до 500 кВт мощности в одном нагревателе). Также существуют модификации высоковольтных индукционных котлов, которые могут обеспечить мощность нагрева свыше 6 МВт. Аналогично прочим индукционным нагревателям, индукционные нагреватели с объемным теплообменником также могут устанавливаться в параллель, и, тем самым, обеспечивать любую мощность нагрева.
3. Возможность обеспечения высоких температур нагрева (до 200-250 °С), что существенно расширяет области применения нагревателей. Это немного ниже, чем у трубчатых теплообменников, что обусловлено как раз конструкцией (трубки обеспечивают лучшую вентиляцию и охлаждение катушек). В индукционных нагревателях с объемным теплообменником катушки закрыты, однако и температур, обеспечиваемых этими нагревателями, достаточно для многих технологических процессов (обогрев реакторов, гальванических ванн, сушильных камер, прессов, калориферов и т.д.).
4. Равномерное распределение теплового потока по более развитой поверхности теплообменника гарантирует отсутствие явлений местного перегрева, отложения накипи и очень небольшой градиент температур между теплоносителем и теплообменником (не более 20 °С) что служит дополнительным аргументом в пользу надежности и пожарной безопасности нагревателя индуктивно-кондуктивного типа.
5. «Честный» высокий коэффициент мощности 0,98-0,985 благодаря более равномерному поглощению магнитного поля цилиндрическим теплообменником (о перипетиях с этим показателем – см. нашу статью).
6. Более низкая масса нагревателей по сравнению с аналогичными по мощности нагревателями на трубках.

Недостатки:

1. Более высокая себестоимость материалов и высокотехнологичность производства: высокое качество и отличные потребительские свойства дешевыми не бывают.
2. Низкая маржинальность (наценка) делает продукт не интересным для посредников, поэтому продукцию необходимо заказывать только у производителя.
3. Теплообменник в большинстве случаев не ремонтопригоден, однако, риск выхода его из строя самый низкий из всех типов индукционных нагревателей. Кроме того, его замена может быть произведена эксплуатирующей организацией, а не только заводом-изготовителем.

Вывод: если говорить о том, что индукционные нагреватели – это следующий шаг по отношению к ТЭНовым и электродным котлам, то индуктивно-кондуктивные нагреватели с цилиндрическим теплообменником – это пример дальнейшего развития конструкции, которая, пожалуй, как никогда близка к ожидаемому идеалу. Главное, при наличии очень хорошей и энергоэффективной конструкции, — это высокая культура и качество производства, которая бы неукоснительно следовала конструкторской документации и исполняла замысел инженеров и ученых, положивших годы в создание такого сложного, но такого простого оборудования, как индукционный электрический нагреватель.

►См. Индукционные нагреватели в нашем каталоге

определение индукции по The Free Dictionary

То, что противоположное добру является злом, показано индукцией: противоположное здоровью — болезнь, мужество, трусость и т. Д. Неделя после введения Тарзана в царство вазири была занята сопровождением Мануэмы арабских налетчиков к северной границе Вазири в соответствии с обещанием, которое дал им Тарзан. Точно так же он догадывался по индукции, что Портос мстит за поражение Шантильи, когда жена прокуратора оказалась столь непреклонной в отношении в ее сумочку.Мы оставались в Кадабре, гостями Талу, до тех пор, пока он не официально вступил в должность, а затем на огромном флоте, который мне так посчастливилось спасти от разрушения, мы поплыли на юг через ледяной барьер; но не раньше, чем мы стали свидетелями полного уничтожения мрачного Стража Севера по приказу нового джеддака джеддаков. Придя в результате своего собственного процесса индукции к этому неизбежному выводу, она решила попробовать то, чего может достичь ее влияние, и полагаться на вдохновение момента, чтобы проявить его правильно.М’Чоакумчайлд сообщила, что у нее очень плотная голова для фигур; что, когда-то обладая общим представлением о земном шаре, она проявляла малейший интерес к его точным измерениям; что она очень медленно добывала финики, если только с ними не связано какое-нибудь жалкое происшествие; что она разрыдалась, когда от нее (умственного процесса) потребовалось немедленно назвать двести сорок семь муслиновых кепок по четырнадцать пенсов полпенни; что она была настолько низкой в ​​школе, насколько это было возможно; что после восьми недель приобщения к элементам политической экономии она только вчера была исправлена ​​болтуном трех футов высотой за возвращение к вопросу: еще более косвенным образом ему помогло изобретение Морзе телеграфа; открытием Фарадеем явления магнитной индукции; от первого электромагнита Sturgeon; и электрической батареей Вольта.Она наказывает абстракционистов и прощает только редкие и случайные индукции. Она на мгновение задумчиво нахмурила брови, а затем вспыхнула с яркой небольшой индукцией: « Ну, но скажите, что они делают. Теперь, если, в конце концов, я ошибаюсь в своем наведении с этой ленты, что француз был моряком, принадлежащим Мальтийскому судну, тем не менее, я не мог причинить вреда, сказав то, что я сделал в рекламе. Бонникасл, который не слышал этого, но который, взвизгнув на странное лицо, которое он показал ей, ответил на это замечание, что теперь есть земля для нового приобщения к самодельной девушке.Уинтерборн, который отрицал существование такого человека, был совершенно неспособен к открытию, и его разделяло изумление от быстроты ее индукции и веселье от откровенности ее персифляжа.

Индукция

Раздел 2.5 Введение

¶

Математическая индукция — это метод доказательства, мало чем отличающийся от прямого доказательства или доказательства от противоречия или комбинаторного доказательства. Другими словами, индукция — это стиль аргументации, который мы используем, чтобы убедить себя и других в том, что математическое утверждение всегда верно.Многие математические утверждения можно доказать, просто объяснив, что они означают. Другие очень трудно доказать — на самом деле есть относительно простые математические утверждения, которые еще никто не знает, как доказать. Чтобы облегчить поиск доказательств, важно знать некоторые стандартные стили аргументов. Индукция — один из таких стилей. Начнем с примера:

Подраздел Марки

¶

Расследуй! 22

Вам нужно отправить посылку по почте, но вы еще не знаете, сколько вам потребуется.У вас есть большой запас марок по 8 центов и марок по 5 центов. Какие именно почтовые расходы вы можете получить, используя эти марки? Какие суммы сделать невозможно?

Возможно, исследуя вышеупомянутую проблему, вы выбрали определенную сумму почтовых расходов, а затем выяснили, сможете ли вы получить эту сумму, используя только 8-центовые и 5-центовые марки. Возможно, вы сделали это по порядку: можно ли заработать 1 цент с почтовых расходов? Вы можете заработать 2 цента? 3 цента? И так далее. Если это то, что вы сделали, вы на самом деле отвечали на последовательность вопросов.У нас есть методы работы с последовательностями. Посмотрим, поможет ли это.

На самом деле, мы будем составлять не последовательность вопросов, а последовательность утверждений. Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «вы можете заработать \ (n \) центов почтовых расходов, используя только 8-центовые и 5-центовые марки». Поскольку каждое значение \ (n \ text {,} \) \ (P (n) \) является утверждением, оно либо истинно, либо ложно. Итак, если мы сформируем последовательность операторов

\ begin {уравнение *} P (1), P (2), P (3), P (4), \ ldots \ end {уравнение *}

последовательность будет состоять из \ (T \) (для истины) и \ (F \) (для ложного).В нашем конкретном случае последовательность начинается с

\ begin {уравнение *} F, F, F, F, T, F, F, T, F, F, T, F, F, T, \ ldots \ end {уравнение *}

, потому что \ (P (1), P (2), P (3), P (4) \) все ложны (вы не можете сделать 1, 2, 3 или 4 цента почтовых расходов), но \ (P (5 ) \) верно (используйте одну марку в 5 центов) и так далее.

Давайте немного подумаем, как мы можем найти значение \ (P (n) \) для некоторого конкретного \ (n \) («значение» будет либо \ (T \), либо \ (F \)). Как мы нашли значение \ (n \) -го члена последовательности чисел? Как мы нашли \ (a_n \ text {?} \). Это можно было сделать двумя способами: либо существовала закрытая формула для \ (a_n \ text {,} \), чтобы мы могли вставить \ (n \) в формулу и получаем наше выходное значение, или у нас было рекурсивное определение для последовательности, поэтому мы могли использовать предыдущие члены последовательности для вычисления \ (n \) -го члена.Имея дело с последовательностями операторов, мы также можем использовать любой из этих методов. Может быть, есть способ использовать сам \ (n \), чтобы определить, можем ли мы заработать \ (n \) центов за пересылку по почте. Это было бы что-то вроде закрытой формулы. Или вместо этого мы могли бы использовать предыдущие термины в последовательности (утверждений), чтобы определить, можем ли мы сделать \ (n \) центов почтовых расходов. То есть, если мы знаем значение \ (P (n-1) \ text {,} \), можем ли мы получить от него значение \ (P (n) \ text {?} \) Это будет что-то как рекурсивное определение последовательности.Помните, что поиск рекурсивных определений последовательностей часто бывает проще, чем поиск закрытых формул. То же самое и здесь.

Предположим, я сказал вам, что \ (P (43) \) было правдой (это так). Можете ли вы определить из этого факта значение \ (P (44) \) (истинно оно или ложно)? Да, ты можешь. Даже если мы не знаем, как именно мы заработали 43 цента на 5-центовых и 8-центовых марках, мы знаем, что каким-то образом это можно было сделать. Что, если бы таким образом использовали как минимум три марки по 5 центов (что составляет 15 центов)? Мы могли бы заменить эти три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов (что составляет 16 центов).Общие почтовые расходы увеличились на 1, так что у нас есть способ заработать 44 цента, так что \ (P (44) \) верно. Конечно, мы предполагали, что у нас есть как минимум три 5-центовых марки. Что, если мы этого не сделаем? Тогда у нас должно быть как минимум три марки по 8 центов (что составляет 24 цента). Если мы заменим эти три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов (что составляет 25 центов), мы снова увеличим нашу общую сумму на 1 цент, так что мы можем заработать 44 цента, так что \ (P (44) \) истинно.

Обратите внимание, что мы не сказали, как заработать 44 цента, просто мы можем, исходя из того, что мы можем заработать 43 цента.Как мы узнаем, что можем заработать 43 цента? Возможно, потому что мы знаем, что можем заработать \ (42 \) цента, а мы знаем, что можем сделать, потому что знаем, что можем заработать 41 цент, и так далее. Это рекурсия! Как и в случае с рекурсивным определением числовой последовательности, мы должны указать наше начальное значение. В этом случае начальное значение — «\ (P (1) \) ложно». Это нехорошо, поскольку наше рекуррентное соотношение просто говорит, что \ (P (k + 1) \) истинно , если \ (P (k) \) также истинно. Нам нужно начать процесс с истинного \ (P (k) \ text {.} \) Поэтому вместо этого мы можем использовать «\ (P (31) \) истинно» в качестве начального условия.

Собирая все это вместе, мы приходим к следующему факту: можно (точно) произвести любую сумму, превышающую 27 центов, используя только 5-центовые и 8-центовые марки. Другими словами, \ (P (k) \) истинно для любого \ (k \ ge 28 \ text {.} \). Чтобы доказать это, мы могли бы сделать следующее:

1. Продемонстрируйте, что \ (P (28) \) верно.

2. Докажите, что если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) истинно (для любого \ (k \ ge 28 \)).

Допустим, мы это сделали. Тогда мы знаем, что 28-й член приведенной выше последовательности — это \ (T \) (с использованием шага 1, начального условия или базового случая ), и что каждый член после 28-го также является \ (T \) (используя шаг 2, рекурсивная часть или индуктивный корпус ). Вот как могло бы выглядеть доказательство.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «можно сделать ровно \ (n \) центов почтовых расходов, используя 5-центовые и 8-центовые марки.”Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

Сначала мы покажем, что \ (P (28) \) истинно: \ (28 = 4 \ cdot 5+ 1 \ cdot 8 \ text {,} \), поэтому мы можем получить \ (28 \) центов, используя четыре 5 марки и одна марка 8 центов.

Теперь предположим, что \ (P (k) \) верно для некоторого произвольного \ (k \ ge 28 \ text {.} \). Тогда можно сделать \ (k \) центов, используя 5-центовые и 8-центовые марки. . Обратите внимание, что, поскольку \ (k \ ge 28 \ text {,} \) не может быть, чтобы мы использовали менее трех марок по 5 центов и менее трех марок по 8 центов: использование двух марок каждой из них даст только 26 центов.Теперь, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 5 центов, замените три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов. Это заменяет 15 центов почтовых расходов на 16 центов, с переходом с \ (k \) центов на \ (k + 1 \) центов. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно. С другой стороны, если мы сделали \ (k \) центов, используя по крайней мере три марки по 8 центов, то мы можем заменить три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов, переместившись с 24 центов на 25 центов, давая всего \ (k + 1 \) центов почтовых расходов. Так что и в этом случае \ (P (k + 1) \) верно.

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 28 \ text {.} \)

Подраздел Формирование доказательств

¶

То, что мы сделали в приведенном выше примере штампа, работает для многих типов проблем. Доказательство по индукции полезно при попытке доказать утверждения обо всех натуральных числах или всех натуральных числах, превышающих некоторый фиксированный первый случай (например, 28 в приведенном выше примере), а также в некоторых других ситуациях. В частности, индукцию следует использовать, когда есть способ перейти от одного случая к другому — когда вы видите, как всегда «делать еще один».”

Это большая идея. Индуктивное размышление над проблемой может дать новое понимание проблемы. Например, чтобы по-настоящему понять проблему с маркой, вы должны подумать о том, как можно произвести любую сумму почтовых расходов (более 28 центов) (это неиндуктивное рассуждение), а также о том, как можно произвести почтовые расходы. изменения по мере увеличения суммы (индуктивное рассуждение). Когда вас просят предоставить доказательство по индукции, вас просят подумать о проблеме динамически ; как увеличение \ (n \) меняет проблему?

Но у доказательств по индукции есть и другая сторона.В математике недостаточно понимать проблему, вы также должны уметь сообщить о проблеме другим. Как и любая дисциплина, математика имеет стандартный язык и стиль, что позволяет математикам эффективно делиться своими идеями. Доказательства по индукции имеют определенный формальный стиль, и очень важно уметь писать в этом стиле. Это позволяет нам систематизировать наши идеи и может даже помочь нам сформулировать доказательства.

Вот общая структура доказательства математической индукцией:

Индукционная конструкция

Для начала скажите, какое утверждение вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Чтобы доказать, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ ge 0 \ text {,} \) вы должны доказать два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) верно.Вы делаете это напрямую. Часто это легко.

2. Индуктивный случай: докажите, что \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) для всех \ (k \ ge 0 \ text {.} \). То есть докажите, что для любого \ (k \ ge 0 \) если \ (P (k) \) истинно, то \ (P (k + 1) \) также истинно. Это доказательство утверждения if… then…, поэтому вы можете предположить, что \ (P (k) \) истинно (\ (P (k) \) называется индуктивной гипотезой , ). Затем вы должны объяснить, почему \ (P (k + 1) \) также верно с учетом этого предположения.

Предполагая, что вы добились успеха в обеих вышеупомянутых частях, вы можете сделать вывод: «Следовательно, по принципу математической индукции утверждение \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \) ”

Иногда утверждение \ (P (n) \) будет истинным только для значений, например, \ (n \ ge 4 \ text {,} \) или некоторого другого значения. В таких случаях замените все 0, указанные выше, на 4 (или другое значение).

Другое преимущество формализации индуктивных доказательств состоит в том, что это позволяет нам проверить, верна ли логика, лежащая в основе этого стиля аргументации. Почему работает индукция? Представьте себе ряд домино, стоящих на краях. Мы хотим возразить, что через минуту все костяшки домино упадут.Для этого вам нужно будет толкнуть первое домино. Это базовый вариант. Также должно быть, чтобы домино было достаточно близко друг к другу, чтобы при падении любого конкретного домино выпало следующее домино. Это индуктивный случай. Если оба этих условия соблюдены, вы толкаете первое домино, и каждое домино вызывает падение следующего, тогда все домино выпадают.

Индукция — это мощно! Подумайте, насколько легче опрокидывать домино, если не нужно самому толкать каждое домино.Вы просто запускаете цепную реакцию, и полагаетесь на относительную близость домино, чтобы позаботиться обо всем остальном.

Подумайте о нашем исследовании последовательностей. Для последовательностей легче найти рекурсивные определения, чем закрытые формулы. Переходить от одного дела к другому легче, чем сразу к конкретному делу. Вот что так хорошо в индукции. Вместо того, чтобы переходить непосредственно к (произвольному) случаю для \ (n \ text {,} \), нам просто нужно сказать, как перейти от одного случая к другому.

Когда вас просят доказать утверждение с помощью математической индукции, вы должны сначала подумать о , почему утверждение истинно, используя индуктивные рассуждения.Объясните, почему индукция — это то, что нужно делать, и примерно почему индуктивный случай будет работать. Затем сядьте и напишите аккуратное формальное доказательство, используя приведенную выше структуру.

Подраздел Примеры

¶

Вот несколько примеров доказательства с помощью математической индукции.

Пример2.5.1

Докажите для каждого натурального числа \ (n \ ge 1 \), что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \)

Решение

Во-первых, давайте индуктивно подумаем об этом уравнении.На самом деле, мы знаем, что это правда, по другим причинам (на ум приходит обратное и сложение). Но почему может быть применима индукция? Левая часть складывает числа от 1 до \ (n \ text {.} \). Если бы мы знали, как это сделать, добавить еще один член (\ (n + 1 \)) было бы не так сложно. Например, если \ (n = 100 \ text {,} \) предположим, что мы знаем, что сумма первых 100 чисел равна \ (5050 \) (поэтому \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 = 5050 \ текст {,} \), что верно). Теперь, чтобы найти сумму первых 101 числа, имеет смысл просто прибавить 101 к 5050, вместо того, чтобы снова вычислять всю сумму.У нас было бы \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + 100 + 101 = 5050 + 101 = 5151 \ text {.} \) На самом деле всегда было бы легко добавить еще один член. Вот почему мы должны использовать индукцию.

Теперь формальное доказательство:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 2)} {2} \ text {.} \) Мы покажем, что \ (P (n) \) верно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Базовый случай: \ (P (1) \) — это утверждение \ (1 = \ frac {1 (1 + 1)} {2} \), которое явно верно.

Индуктивный случай: пусть \ (k \ ge 1 \) — натуральное число. Предположим (для индукции), что \ (P (k) \) истинно. Это означает \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k = \ frac {k (k + 1)} {2} \ text {.} \). Мы докажем, что \ (P (k + 1) \) является правда тоже. То есть мы должны доказать, что \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} \ text {.} \) Чтобы доказать это уравнение, начните с добавления \ (k + 1 \) к обеим сторонам индуктивной гипотезы:

\ begin {уравнение *} 1 + 2 + 3 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {k (k + 1)} {2} + (k + 1). \ end {уравнение *}

Теперь, упрощая правую часть, получаем:

\ begin {align *} \ frac {k (k + 1)} {2} + k + 1 \ amp = \ frac {k (k + 1)} {2} + \ frac {2 (k + 1)} {2} \\ \ amp = \ frac {k (k + 1) + 2 (k + 1)} {2} \\ \ amp = \ frac {(k + 2) (k + 1)} {2}.\ end {выровнять *}

Таким образом, \ (P (k + 1) \) истинно, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) истинно для всех натуральных чисел \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

Обратите внимание, что в той части доказательства, в которой мы доказали \ (P (k + 1) \) из \ (P (k) \ text {,} \), мы использовали уравнение \ (P (k) \ text { .} \) Это была индуктивная гипотеза. Увидеть, как использовать индуктивные гипотезы, обычно просто при доказательстве факта о такой сумме. В других доказательствах это может быть менее очевидно, где оно подходит.

Пример 2.2 \) на единицу больше, чем 5). Как выглядят числа, которые на единицу больше, чем кратные 5? У них должна быть последняя цифра 1 или 6. Что произойдет, если вы умножите такое число на 6? Зависит от числа, но в любом случае последняя цифра нового числа должна быть 6. А затем, если вы вычесть 1, вы получите последнюю цифру 5, то есть кратную 5.

Дело в том, что каждый раз, когда мы умножаем еще на одну шестерку, мы все равно получаем число с последней цифрой 6, поэтому вычитание 1 дает нам число, кратное 5.{k + 1} \ text {,} \) другими словами, \ (P (k + 1) \ text {.} \) Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для все \ (n \ ge 5 \ text {.} \)

Предыдущий пример может напомнить вам принцип ипподрома из исчисления, который гласит, что если \ (f (a) \ lt g (a) \ text {,} \) и \ (f ‘(x) \ lt g ‘(x) \) для \ (x> a \ text {,} \), затем \ (f (x) \ lt g (x) \) для \ (x> a \ text {.} \) Та же идея: большая функция увеличивается с большей скоростью, чем меньшая функция, поэтому большая функция останется большей.В дискретной математике у нас нет производных, поэтому мы смотрим на различия. Таким образом, индукция — это правильный путь.

Предупреждение:

С большой мощностью приходит большая ответственность. Индукция — это не волшебство. Возможность предположить, что \ (P (k) \) истинна, кажется очень сильной. В конце концов, мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) истинно, и единственная разница заключается в переменной: \ (k \) vs. \ (n \ text {.} \). Предполагаем ли мы, что то, что мы хотите доказать верно? На самом деле, нет. Мы предполагаем, что \ (P (k) \) истинно только ради доказательства того, что \ (P (k + 1) \) истинно.

Тем не менее вы можете начать верить, что с помощью индукции можно доказать что угодно. Рассмотрим это неправильное «доказательство» того, что у всех канадцев один и тот же цвет глаз: Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что все \ (n \) канадцы имеют одинаковый цвет глаз. \ (P (1) \) верно, поскольку у всех такой же цвет глаз, как и у них самих. Теперь предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть предположим, что в любой группе \ (k \) канадцев у всех одинаковый цвет глаз. Теперь рассмотрим произвольную группу \ (k + 1 \) канадцев. У первых \ (k \) из них должен быть один и тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно.Кроме того, последний \ (k \) из них должен иметь тот же цвет глаз, поскольку \ (P (k) \) истинно. Фактически, у всех в группе должен быть один и тот же цвет глаз. Таким образом, \ (P (k + 1) \) верно. Итак, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \)

Очевидно, что-то пошло не так. Проблема в том, что доказательство того, что \ (P (k) \) влечет \ (P (k + 1) \), предполагает, что \ (k \ ge 2 \ text {.} \) Мы показали только \ (P (1 )\) правда. На самом деле \ (P (2) \) ложно.

Подраздел Сильная индукция

¶

Расследуй! 23

Начните с квадратного листа бумаги.Вы хотите разрезать этот квадрат на более мелкие квадраты, не оставляя мусора (каждый листок бумаги, который вы получите, должен быть квадратом). Очевидно, что можно разрезать квадрат на 4 квадрата. Вы также можете разрезать его на 9 квадратов. Оказывается, квадрат можно разрезать на 7 квадратов (хотя и не все одинакового размера). Какое еще количество квадратов могло бы получиться?

Иногда, чтобы доказать, что \ (P (k + 1) \) истинно, было бы полезно знать, что \ (P (k) \) и \ (P (k-1) \) и \ (P (k-2) \) все верно.Рассмотрим следующую загадку:

У вас есть прямоугольная плитка шоколада, состоящая из \ (n \) одинаковых квадратов шоколада. Вы можете взять такую ​​планку и разбить ее по любому ряду или столбцу. Сколько раз вам придется ломать плитку, чтобы превратить ее в \ (n \) кусочки шоколада?

Поначалу этот вопрос может показаться невозможным. Возможно, я хотел попросить наименьшее количество необходимых перерывов ? Давайте разбираться.

Начнем с небольших случаев.Если \ (n = 2 \ text {,} \), у вас должен быть прямоугольник \ (1 \ times 2 \), который можно уменьшить на отдельные части за один разрыв. С \ (n = 3 \ text {,} \) у нас должен быть столбик \ (1 \ times 3 \), для которого требуется два разрыва: первый разрыв создает один квадрат и столбик \ (1 \ times 2 \). , который, как мы знаем, занимает один (более) перерыв.

А как насчет \ (n = 4 \ text {?} \) Теперь у нас может быть полоса \ (2 \ times 2 \) или полоса \ (1 \ times 4 \). В первом случае разбейте столбик на два \ (2 \ times 2 \) столбца, для каждого из которых требуется еще один разрыв (всего требуется три разрыва).Если мы начали с бара \ (1 \ times 4 \), у нас есть выбор для нашего первого перерыва. Мы можем разбить планку пополам, создав две полосы \ (1 \ times 2 \), или мы можем сломать один квадрат, оставив полосу \ (1 \ times 3 \). Но в любом случае нам нужно еще два перерыва, а всего три.

Это начинает выглядеть так, как будто независимо от того, как мы ломаем планку (и как бы квадраты \ (n \) не выстраивались в прямоугольник), у нас всегда будет одинаковое количество требуемых разрывов. Также похоже, что это число на единицу меньше, чем \ (n \ text {:} \)

Гипотеза 2.5,4

Для \ (n \) квадратной прямоугольной плитки шоколада всегда требуется \ (n-1 \) разрывов, чтобы уменьшить плитку до отдельных квадратов.

Имеет смысл доказать это индукцией, потому что, сломав плитку один раз, у вас останется плиток меньшего размера . Сведение к меньшим случаям — вот что такое индукция. Мы можем индуктивно предположить, что уже знаем, как обращаться с этими меньшими барами. Проблема в том, что если мы пытаемся доказать индуктивный случай с \ ((k + 1) \) — квадратным стержнем, мы не знаем, что после первого разрыва на оставшемся баре будет \ (k \) квадратов.Поэтому нам действительно нужно предположить, что наша гипотеза верна для всех случаев, меньших чем \ (k + 1 \ text {.} \)

Верно ли это более сильное предположение? Помните, что по индукции мы пытаемся доказать, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ text {.} \). Что, если бы это было не так? Тогда будет некоторый первый \ (n_0 \), для которого \ (P (n_0) \) было ложным. Поскольку \ (n_0 \) — это первый контрпример , мы знаем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ lt n_0 \ text {.} \). Теперь мы переходим к доказательству того, что \ (P (n_0) \) действительно верно, основываясь на предположении, что \ (P (n) \) верно для всех меньших \ (n \ text {.} \)

Это большое преимущество: теперь у нас есть более сильная индуктивная гипотеза. Можно считать, что \ (P (1) \ text {,} \) \ (P (2) \ text {,} \) \ (P (3) \ text {,} \)… \ (P (k) \) верно, просто чтобы показать, что \ (P (k + 1) \) верно. Ранее для этой цели мы просто предполагали \ (P (k) \).

Будет немного проще, если мы изменим наши переменные на сильную индукцию. Вот как могло бы выглядеть формальное доказательство:

Прочная конструкция для защиты от индукции

Опять же, начните с того, что вы хотите доказать: «Пусть \ (P (n) \) будет утверждением…» Затем установите два факта:

1. Базовый случай: Докажите, что \ (P (0) \) верно.

2. Индуктивный случай: Предположим, что \ (P (k) \) верно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Докажите, что \ (P (n) \) верно.

Сделайте вывод: «Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ gt 0 \ text {.} \)»

Конечно, можно заменить 0 на при необходимости более крупный базовый вариант.

Докажем нашу догадку о загадке плитки шоколада:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, «требуется \ (n-1 \) перерывов, чтобы уменьшить \ (n \) — квадратную плитку шоколада до отдельных квадратов.”

Базовый случай: рассмотрим \ (P (2) \ text {.} \) Квадраты должны быть расположены в прямоугольник \ (1 \ times 2 \), и нам нужны \ (2-1 = 1 \) разрывы, чтобы уменьшить это на отдельные квадраты.

Индуктивный случай: зафиксируйте произвольный \ (n \ ge 2 \) и предположите, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Рассмотрим \ (n \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада. Разбейте полосу один раз вдоль любой строки или столбца. В результате получается две плитки шоколада, скажем, размеров \ (a \) и \ (b \ text {.} \). То есть у нас есть \ (a \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада, a \ (b \) — квадратная прямоугольная плитка шоколада и \ (a + b = n \ text {.} \)

Мы также знаем, что \ (a \ lt n \) и \ (b \ lt n \ text {,} \), поэтому по нашей индуктивной гипотезе \ (P (a) \) и \ (P (b) \) верны. Чтобы уменьшить полосу \ (a \) — sqaure до отдельных квадратов, требуется \ (a-1 \) разрыв; чтобы уменьшить \ (b \) — квадратную полосу до отдельных квадратов, требуется \ (b-1 \) перерыв. В результате наша исходная полоса уменьшится до отдельных квадратов. Все вместе это взяло начальный перерыв, плюс перерывы \ (a-1 \) и \ (b-1 \), в общей сложности \ (1 + a-1 + b-1 = a + b-1 = n -1 \) ломается. Таким образом, \ (P (n) \) верно.

Следовательно, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Вот более математически релевантный пример:

Пример2.5.5

Докажите, что любое натуральное число больше 1 либо простое, либо может быть записано как произведение простых чисел.

Решение

Во-первых, идея: если мы возьмем какое-то число \ (n \ text {,} \), возможно, оно будет простым. Если так, то все готово. Если нет, то оно составное, то есть произведение двух меньших чисел. Каждый из этих факторов меньше, чем \ (n \) (но не менее 2), поэтому мы можем повторить рассуждение с этими числами.Мы свели к меньшему случаю.

Теперь формальное доказательство:

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением: «\ (n \) либо простое число, либо может быть записано как произведение простых чисел». Мы докажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

.

Базовый случай: \ (P (2) \) верно, потому что \ (2 \) действительно простое число.

Индуктивный случай: предположим, что \ (P (k) \) истинно для всех \ (k \ lt n \ text {.} \). Мы хотим показать, что \ (P (n) \) истинно. То есть мы хотим показать, что \ (n \) либо простое число, либо произведение простых чисел.Если \ (n \) простое число, все готово. Если нет, то \ (n \) имеет более двух делителей, поэтому мы можем записать \ (n = m_1 \ cdot m_2 \ text {,} \) с \ (m_1 \) и \ (m_2 \) меньше \ ( п \) (и больше 1). По предположению индукции, \ (m_1 \) и \ (m_2 \) либо простые, либо могут быть записаны как произведение простых чисел. В любом случае \ (n \) записывается как произведение простых чисел.

Таким образом, по сильной индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

Используете ли вы обычную индукцию или сильную индукцию, зависит от утверждения, которое вы хотите доказать.Если вы хотите быть в безопасности, вы всегда можете использовать сильную индукцию. Это действительно сильнее , так что может сделать все, что «слабая» индукция. Тем не менее, использовать регулярную индукцию часто проще, так как есть только одно место, где вы можете использовать гипотезу индукции. Также есть что сказать о elegance в пруфах. Если вы можете доказать утверждение, используя более простые инструменты, это будет хорошо.

В качестве последнего контраста между двумя формами индукции рассмотрим еще раз проблему штампа.Регулярная индукция работала, показывая, как увеличить почтовые расходы на один цент (либо заменяя три марки по 5 центов двумя марками по 8 центов, либо три марки по 8 центов на пять марок по 5 центов). Мы могли бы дать несколько иное доказательство, используя сильную индукцию. Во-первых, мы могли бы показать пять базовых случаев : можно получить 28, 29, 30, 31 и 32 цента (мы бы фактически сказали, как создается каждый из них). Теперь предположим, что можно сделать \ (k \) центов почтовых расходов для всех \ (k \ lt n \) до тех пор, пока \ (k \ ge 28 \ text {.2 \ amp \ text {по фактору} \ end {выровнять *}

Таким образом, \ (P (k + 1) \) выполняется, поэтому по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

4

Докажите, что \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \), где \ (F_n \) — это \ (n \) -е число Фибоначчи.

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет выражением \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2n} = F_ {2n + 1} — 1 \ text {.} \) Мы покажем, что \ ( P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 0 \ text {.} \). Сначала базовый случай прост, потому что \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \), поэтому \ (F_0 = F_1 — 1 \ text {.} \) Теперь рассмотрим индуктивный случай. Предположим, что \ (P (k) \) истинно, то есть предположим \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2k} = F_ {2k + 1} — 1 \ text {.} \), Чтобы установить \ (P (k + 1) \) работаем слева направо:

\ begin {align *} F_0 + F_2 + \ cdots + F_ {2k} + F_ {2k + 2} ~ \ amp = F_ {2k + 1} — 1 + F_ {2k + 2} \ amp \ text {по инд. hyp.} \\ \ amp = F_ {2k + 1} + F_ {2k + 2} — 1 \ amp \\ \ amp = F_ {2k + 3} — 1 \ amp \ text {по рекурсивному определению} \ end {выровнять *}

Следовательно, \ (F_0 + F_2 + F_4 + \ cdots + F_ {2k + 2} = F_ {2k + 3} — 1 \ text {,} \), то есть \ (P (k + 1) \) выполняется .{k + 1} \ lt (k + 1)! \), поэтому мы установили \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) равно верно для всех \ (n \ ge 4 \ text {.} \)

6

Докажите математической индукцией, что \ (F_0 + F_1 + F_2 + \ cdots + F_ {n} = F_ {n + 2} — 1 \ text {,} \), где \ (F_n \) — это \ (n \) -е число Фибоначчи (\ (F_0 = 0 \ text {,} \) \ (F_1 = 1 \) и \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \)).

7

Зомби Эйлер и Зомби Коши, два известных математика-зомби, только что зарегистрировались в Твиттере.Через день у Зомби Коши больше последователей, чем у Зомби Эйлера. Каждый день после этого количество новых последователей Зомби Коши точно такое же, как количество новых последователей Зомби Эйлера (и ни один из них не теряет последователей). Объясните, как доказательство с помощью математической индукции может показать, что каждый день после первого дня у Зомби Коши будет больше последователей, чем у Зомби Эйлера. То есть объясните, что такое базовый случай и индуктивный случай, и почему они вместе доказывают, что у Зомби Коши будет больше последователей на 4-й день.2 = \ гидроразрыва {n (n + 1) (2n + 1)} {6} \ end {уравнение *}

10

Что не так со следующим «доказательством» того «факта», что \ (n + 3 = n + 7 \) для всех значений \ (n \) (кроме, конечно, того, что оно претендует на доказательство, ложно )?

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что \ (n + 3 = n + 7 \ text {.} \). Мы докажем, что \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Предположим для индукции, что \ (P (k) \) верно. То есть \ (k + 3 = k + 7 \ text {.} \) Мы должны показать, что \ (P (k + 1) \) истинно.Теперь, поскольку \ (k + 3 = k + 7 \ text {,} \) прибавьте 1 к обеим сторонам. Это дает \ (k + 3 + 1 = k + 7 + 1 \ text {.} \) Перегруппировка \ ((k + 1) + 3 = (k + 1) + 7 \ text {.} \) Но это просто \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Решение

Единственная проблема в том, что мы никогда не устанавливали базовый вариант. Конечно, когда \ (n = 0 \ text {,} \) \ (0 + 3 \ ne 0 + 7 \ text {.} \)

11

Доказательство в предыдущей задаче не работает. Но если мы изменим «факт», мы сможем получить работающее доказательство.Докажите, что \ (n + 3 \ lt n + 7 \) для всех значений \ (n \ in \ N \ text {.} \). Это доказательство можно провести с помощью алгебры (без индукции), но цель этого упражнения состоит в том, чтобы выписать верное индукционное доказательство.

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением, что \ (n + 3 \ lt n + 7 \ text {.} \) Мы докажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Во-первых, обратите внимание, что выполняется базовый случай: \ (0 + 3 \ lt 0 + 7 \ text {.} \) Теперь предположим для индукции, что \ (P (k) \) правда. То есть \ (k + 3 \ lt k + 7 \ text {.} \) Мы должны показать, что \ (P (k + 1) \) истинно. Теперь, поскольку \ (k + 3 \ lt k + 7 \ text {,} \) прибавляем 1 к обеим сторонам. Это дает \ (k + 3 + 1 \ lt k + 7 + 1 \ text {.} \) Перегруппировка \ ((k + 1) + 3 \ lt (k + 1) + 7 \ text {.} \) Но это просто \ (P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \ )

12

Найдите изъян в следующем «доказательстве» того «факта», что \ (n \ lt 100 \) для каждого \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет выражением \ (n \ lt 100 \ text {.} \) Мы докажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Сначала мы установим базовый случай: когда \ (n = 0 \ text {,} \) \ (P (n) \) истинно, потому что \ (0 \ lt 100 \ text {.} \) Теперь для индуктивного шага предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть \ (k \ lt 100 \ text {.} \) Теперь, если \ (k \ lt 100 \ text {,} \), то \ (k \) — это какое-то число, например 80. Конечно \ (80+ 1 = 81 \), что по-прежнему меньше 100. Итак, \ (k +1 \ lt 100 \) тоже. Но это то, что утверждает \ (P (k + 1) \), поэтому мы показали, что \ (P (k) \ imp P (k + 1) \ text {.} \) Таким образом, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \)

Решение

Проблема здесь в том, что пока \ (P (0) \) истинно, а пока \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) для , некоторые значений \ (k \ text {, } \) существует по крайней мере одно значение \ (k \) (а именно \ (k = 99 \)), когда эта импликация не выполняется. Для действительного доказательства по индукции \ (P (k) \ imp P (k + 1) \) должно быть истинным для всех значений \ (k \), больших или равных базовому случаю.

13

Хотя приведенное выше доказательство не работает (лучше, поскольку утверждение, которое оно пытается доказать, ложно!), Мы можем доказать нечто подобное.Докажите, что существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, a_3, \ ldots \) ​​чисел (не обязательно целых) такая, что \ (a_n \ lt 100 \) для всех \ (n \ in \ N \ text {. } \) (Под , строго увеличивая , мы подразумеваем \ (a_n \ lt a_ {n + 1} \) для всех \ (n \ text {.} \), Поэтому каждый член должен быть больше предыдущего.)

Решение

Доказательство

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, \ ldots, a_n \) с \ (a_n \ lt 100 \ text {.} \)». Мы докажем \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \) Сначала мы устанавливаем базовый случай: \ (P (1) \) говорит, что существует единственное число \ (a_1 \) с \ (a_1 \ lt 100 \ text {.} \) Это правда — возьмите \ ( a_1 = 0 \ text {.} \) Теперь для индуктивного шага предположим, что \ (P (k) \) истинно. То есть существует строго возрастающая последовательность \ (a_1, a_2, a_3, \ ldots, a_k \) с \ (a_k \ lt 100 \ text {.} \). Теперь рассмотрим эту последовательность, плюс еще один член, \ (a_ { k + 1} \), которое больше \ (a_k \), но меньше \ (100 \ text {.} \) Такое число существует, например, среднее между \ (a_k \) и 100.2 + п \) четно ».

16

Докажите, что существует последовательность положительных действительных чисел \ (a_0, a_1, a_2, \ ldots \) ​​такая, что частичная сумма \ (a_0 + a_1 + a_2 + \ cdots + a_n \) строго меньше, чем \ (2 \ ) для всех \ (n \ in \ N \ text {.} \) Подсказка: подумайте, как вы могли бы определить, что такое \ (a_ {k + 1} \), чтобы заставить работать аргумент индукции.

Решение

Идея состоит в том, чтобы определить последовательность так, чтобы \ (a_n \) было меньше, чем расстояние между предыдущей частичной суммой и 2. Таким образом, когда вы добавляете ее в следующую частичную сумму, частичная сумма все равно меньше 2.Вы можете сделать это заранее или использовать умный \ (P (n) \) в доказательстве индукции.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением: «существует последовательность положительных действительных чисел \ (a_0, a_1, a_2, \ ldots, a_n \) такая, что \ (a_0 + a_1 + a_2 + \ cdots + a_n \ lt 2 \ text {.} \) ”

Базовый случай: выберите любой \ (a_0 \ lt 2 \ text {.} \)

Индуктивный случай: Предположим, что \ (a_1 + a_2 + \ cdots + a_k \ lt 2 \ text {.} \) Теперь пусть \ (a_ {k + 1} = \ frac {2- a_1 + a_2 + \ cdots + a_k } {2} \ text {.} \) Затем \ (a_1 + a_2 + \ cdots + a_k + a_ {k + 1} \ lt 2 \ text {.} \)

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ in \ N \)

17

Докажите, что каждое положительное целое число является степенью двойки или может быть записано как сумма различных степеней двойки.

Решение

Доказательство проводится с помощью сильной индукции.

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «\ (n \) является либо степенью двойки, либо может быть записано как сумма различных степеней двойки». Мы покажем, что \ (P (n) \) истинно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.x \) мы записали \ (n \) как сумму различных степеней 2.

Следовательно, по принципу (сильной) математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 1 \ text {.} \)

18

Докажите, используя сильную индукцию, что каждое натуральное число является либо числом Фибоначчи, либо может быть записано как сумма из различных чисел Фибоначчи.

19

Используйте индукцию, чтобы доказать, что если \ (n \) люди пожимают друг другу руки, общее количество рукопожатий равно \ (\ frac {n (n-1)} {2} \ text {.} \)

Решение

Обратите внимание: мы уже доказали это без использования индукции, но индуктивный взгляд проливает свет на проблему (и это весело).

Проба

Пусть \ (P (n) \) будет утверждением «когда \ (n \) люди пожимают друг другу руки, в общей сложности происходит \ (\ frac {n (n-1)} {2} \) рукопожатий. . »

Базовый случай: Когда \ (n = 2 \ text {,} \) будет одно рукопожатие, и \ (\ frac {2 (2-1)} {2} = 1 \ text {.} \) Таким образом \ (P (2) \) верно.

Индуктивный случай: Предположим, что \ (P (k) \) верно для произвольного \ (k \ ge 2 \) (что количество рукопожатий среди \ (k \) людей равно \ (\ frac {k (k-1) } {2} \ text {.} \) Что произойдет, если появится \ (k + 1 \) -й человек? Сколько происходит новых рукопожатий? Новый человек должен обменяться рукопожатием со всеми присутствующими, то есть \ (k \) новых рукопожатий. Таким образом, общая сумма теперь равна \ (\ frac {k (k-1)} {2} + k = \ frac {(k + 1) k} {2} \ text {,} \) по мере необходимости.

Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

20

Предположим, что конкретное действительное число \ (x \) обладает тем свойством, что \ (x + \ frac {1} {x} \) является целым числом.к) + \ журнал (а) = к \ журнал (а) + \ журнал (а) \ end {уравнение *}

с последним равенством по индуктивной гипотезе. Но это упрощается до \ ((k + 1) \ log (a) \ text {,} \), устанавливающего \ (P (k + 1) \ text {.} \). Следовательно, по принципу математической индукции \ (P (n) \) верно для всех \ (n \ ge 2 \ text {.} \)

24

Пусть \ (f_1, f_2, \ ldots, f_n \) — дифференцируемые функции. Докажите с помощью индукции, что

\ begin {уравнение *} (f_1 + f_2 + \ cdots + f_n) ‘= f_1’ + f_2 ‘+ \ cdots + f_n’ \ end {уравнение *}

Вы можете принять \ ((f + g) ‘= f’ + g ‘\) для любых дифференцируемых функций \ (f \) и \ (g \ text {.} \)

Подсказка

Вы можете принять базовый вариант. Для индуктивного случая сгруппируйте все функции, кроме последней, как одну сумму функций, затем примените обычное правило суммы производных, а затем индуктивную гипотезу.

25

Предположим, что \ (f_1, f_2, \ ldots, f_n \) — дифференцируемые функции. Используйте математическую индукцию, чтобы доказать обобщенное правило произведения:

\ begin {уравнение *} (f_1 f_2 f_3 \ cdots f_n) ‘= f_1’ f_2 f_3 \ cdots f_n + f_1 f_2 ‘f_3 \ cdots f_n + f_1 f_2 f_3’ \ cdots f_n + \ cdots + f_1 f_2 f_3 \ cdots f_n ‘ \ end {уравнение *}

Вы можете предположить, что правило продукта для двух функций верно.

Подсказка

Для индуктивного шага мы знаем по правилу произведения для двух функций, что

\ begin {уравнение *} (f_1f_2f_3 \ cdots f_k f_ {k + 1}) ‘= (f_1f_2f_3 \ cdots f_k)’ f_ {k + 1} + (f_1f_2f_3 \ cdots f_k) f_ {k + 1} ‘ \ end {уравнение *}

Затем используйте индуктивную гипотезу о первом слагаемом и распределите.

Плюсы и минусы индукционных варочных панелей и диапазонов

Обзоры продуктов

• Лучшие товары
• Бытовая техника
• Младенцы и дети
• Автомобили
• Электроника
• Здоровье
• Дом и сад
• Деньги
• Все продукты AZ

Все обзоры продуктов

Приборы

• Посудомоечные машины
• Холодильники
• Пылесосы
• Стиральные машины

Младенцы и дети

• Велосипедные шлемы
• Автокресла
• Увлажнители
• Коляски

Автомобили

• Исследования новых и подержанных автомобилей
• Покупка и обслуживание автомобилей
И ремонт
• Шины

Электроника

• Наушники
• Ноутбуки
• Принтеры
• Телевизоры

Здоровье

• Глюкометры
• Мониторы артериального давления
• Слуховые аппараты и слуховые аппараты
• Беговые дорожки

  Сад

  • Газонокосилки
  • Воздуходувки
  • Генераторы
  • Матрасы

  Деньги

  • Авиакомпании
  • Страхование автомобилей
  • Страхование домовладельцев
  • Багаж

  Все обзоры продуктов Бытовая техника

  Самые популярные

  —
  • Коронавирус
  • Кондиционеры
  • Очистители воздуха
  • Хлебопечки
  • Центральное кондиционирование
  • Кофеварки
  • Сушилки для одежды
  • Варочные панели
  • Посудомоечные машины
  • Электрочайники
  • Увлажнители
  • Микроволновые печи
  • Диапазоны
  • Обогреватели
  • Пылесосы
  • Настенные печи
  • Стиральные машины
  • Водонагреватели

  Вся бытовая техника

  Подробнее о бытовой технике

  Лучшие посудомоечные машины 2020 года НовостиВидеоВсе обзоры продуктовДети и дети

  M ost Popular

  • Справочник CR по коронавирусу
  • Очистители воздуха
  • Детские мониторы
  • Велосипедные шлемы
  • Автокресла
  • Здоровье детей
  • Детские кроватки
  • Еда
  • Страхование здоровья
  • Детские стульчики
  • Увлажнители
  • Насекомые Репелленты
  • Коляски
  • Солнцезащитные кремы
  • Термометры

  Все младенцы и дети

  Подробнее о младенцах и детях

  Решение, когда пришло время обновить автокресло вашего ребенкаНовостиВидеоВсе обзоры продуктовАвтомобили

  Research Cars

  • Все новые и подержанные автомобили Рейтинг
  • Кабриолеты
  • Гибриды / электромобили
  • Роскошные автомобили
  • Минивэны
  • Пикапы
  • Седаны
  • Малые автомобили
  • Внедорожники
  • Фургоны

  Покупка автомобилей и цены

  • Build & Buy
  • Buying Service® Торговая площадка подержанных автомобилей
  • Руководство по покупке автомобилей
  • Оценщик стоимости автомобиля
  • Покупка всех автомобилей и ценообразование

  Техническое обслуживание и ремонт

  • Шины
  • Автомобильные аккумуляторы
  • Помощник по ремонту автомобилей
  • Все обслуживание и ремонт

  Все автомобили

  Подробнее об автомобилях

  Best Новые автомобильные предложенияНовостиВидеоПодкаст Talking CarsВсе обзоры продуктовЭлектроника

  Самые популярные

  • Справочник CR по коронавирусу
  • Компьютеры
  • Камеры
  • Клавиатуры Ergo
  • Мыши Ergo
  • Наушники
  • HDTV Антенны
  Принтеры
  • Ноутбуки
  Миниатюрные проекторы
  • Ноутбуки
  • Смартфоны
  • Умные часы
  • Звуковые панели
  • Проигрыватели потокового мультимедиа
  • Планшеты
  • Телевизоры
  • Беспроводные маршрутизаторы

  Вся электроника

  Подробнее об электронике

  Лучшие ноутбуки 2020 года НовостиВидеоВсе обзоры продуктовЗдоровье

  Самые популярные 90 009

  • Руководство CR по коронавирусу
  • Измерители глюкозы в крови
  • Мониторы артериального давления
  • Электровелосипеды
  • Электрические зубные щетки
  • Эллиптические тренажеры
  • Магазины очков и контактных линз
  • Фитнес-трекеры
  • Этикетки для пищевых продуктов
  • Красители для волос
  • Слуховые аппараты
  • Увлажнители
  • Репелленты от насекомых
  • Солнцезащитные кремы
  • Беговые дорожки
  • Витамины и пищевые добавки

  Все для здоровья

  Подробнее о здоровье

  Будьте в курсе о коронавирусе НовостиВидеоВсе обзоры продуктовДома 41 и сад

  900 Индукционный нагреватель для ремонта оборудования

  Индукционные инновации ^®

  • Серия мини-воздуховодов
    • U.S. Mini-Ductors
      • Mini-Ductor Venom HP (MDV-787)
      • Mini-Ductor Venom (MDV-777)
      • Mini-Ductor II (MD-700)
      • Mini-Ductor 12 В с питанием от батареи (MD -500)
    • International Mini-Ductors
      • Mini-Ductor Venom (MDV-888)
      • Mini-Ductor II + (MD-800P)
      • Mini-Ductor 110v CE (MD-700 CE)
    • Сравнение моделей и руководства. (MD99-675)
    • Essential Coil Kit (MD99-660)
    • Mini-Pad
    • Variety Pack
    • Больше

• Серия индукторов
  • U.S. Inductors
    • ALFe 3.5
    • ALFe 5.0
    • Pro-Max с полной загрузкой
    • Pro-Max PDR Kit
    • Pro-Max
    • Max
    • Inductor Lite
    • Inductor Lite PDR Kit
    • Glass Blaster
  • International Inductors
    • Pro-Max CE с полной нагрузкой
    • Pro-Max CE
    • Inductor Lite
  • Принадлежности
    • Гель для термического распыления Cold Shield
    • Насадка для концентратора
    • Насадка для стеклянного пескоструйного аппарата
    • PDR насадка для дубинки
    • Rosebud Приспособление
    • Подробнее
  • Сравнение моделей и руководства
    • Сравнение моделей серии индукторов
    • Руководства пользователя
• Применения
  • Mini-Ductor
    • Снятие гайки прокачки тормозов
    • Ремонт станка с ЧПУ
    • Снятие корродированного выхлопа
    • Снятие болта выпускного коллектора
    • Fly Снятие болта колеса
    • Снятие графики
    • Снятие линейного соединителя
    • Снятие выступа и гайки колеса
    • Снятие датчика O2
    • Снятие ржавой гайки возле топливных магистралей
    • Снятие болта ремня безопасности
    • Снятие болта рулевого управления
    • Снятие гайки рулевой тяги
    • Другие области применения
  • Серия индукторов
    • Удаление наклеек и винила, восстановление склеенной отделки
    • Удаление кожуха двери
    • Удаление герметика шва
    • Удаление мягких вмятин
    • Снятие спрея для постельного белья
    • Удаление лобового стекла
  • Кто использует индукционный нагрев?
    • Владельцы кузовных цехов
    • Рабочие механического цеха
    • Техники по стеклу
    • Техники по ремонту без покраски вмятин
    • Техники по утилизации
• Промышленность
  • Сельское хозяйство и сельское хозяйство
  • Ремонт лодок и судов
  • Грузовые автомобили и тяжелые условия эксплуатации
• Блог
• Видео
  • Видео Mini-Ductor
  • Видео о серии индукторов
• Поддержка
  • Ремонт продукта и гарантия
  • FAQ
  • Регистрация продукта
• Торговые посредники
  • Авторизованные реселлеры
  • Стать торговым посредником
  • Вход на партнерский портал
  • Регистрация на партнерском портале
• О
  • Контакт
  • Познакомьтесь с командой
  • Отзывы
  • Присоединяйтесь к нашему списку рассылки
  • Новости
  • События
  • Организации

• (877) 688-9633

• Партнерский портал
• В Магазин
• Моя учетная запись
• Тележка 0

• Серия мини-воздуховодов
  • U.S. Mini-Ductors
    • Mini-Ductor Venom HP (MDV-787)
    • Mini-Ductor Venom (MDV-777)
    • Mini-Ductor II (MD-700)
    • Mini-Ductor 12 В с питанием от батареи (MD -500)
  • International Mini-Ductors
    • Mini-Ductor Venom (MDV-888)
    • Mini-Ductor II + (MD-800P)
    • Mini-Ductor 110v CE (MD-700 CE)
  • Сравнение моделей и руководства. (MD99-675)
  • Essential Coil Kit (MD99-660)
  • Mini-Pad
  • Variety Pack
  • Больше

Серия индукторов

• U.S. Inductors
  • ALFe 3.5
  • ALFe 5.0
  • Pro-Max с полной загрузкой
  • Pro-Max PDR Kit
  • Pro-Max
  • Max
  • Inductor Lite
  • Inductor Lite PDR Kit
  • Glass Blaster
• International Inductors
  • Pro-Max CE с полной нагрузкой
  • Pro-Max CE
  • Inductor Lite
• Принадлежности
  • Гель для термического распыления Cold Shield
  • Насадка для концентратора
  • Насадка для стеклянного пескоструйного аппарата
  • PDR насадка для дубинки
  • Rosebud Приспособление
  • Подробнее
• Сравнение моделей и руководства
  • Сравнение моделей серии индукторов
  • Руководства пользователя

Применения

• Mini-Ductor
  • Снятие гайки прокачки тормозов
  • Ремонт станка с ЧПУ
  • Снятие корродированного выхлопа
  • Снятие болта выпускного коллектора
  • Fly Снятие болта колеса
  • Снятие графики
  • Снятие линейного соединителя
  • Снятие выступа и гайки колеса
  • Снятие датчика O2
  • Снятие ржавой гайки возле топливных магистралей
  • Снятие болта ремня безопасности
  • Снятие болта рулевого управления
  • Снятие гайки рулевой тяги
  • Другие области применения
• Серия индукторов
  • Удаление наклеек и винила, восстановление склеенной отделки
  • Удаление кожуха двери
  • Удаление герметика шва
  • Удаление мягких вмятин
  • Снятие спрея для постельного белья
  • Удаление лобового стекла
• Кто использует индукционный нагрев?
  • Владельцы кузовных цехов
  • Рабочие механического цеха
  • Техники по стеклу
  • Техники по ремонту без покраски вмятин
  • Техники-спасатели

Промышленность

• Сельское хозяйство и сельское хозяйство
• Ремонт лодок и судов
• Грузовые автомобили и тяжелые условия эксплуатации

Блог

Видео

• Видео Mini-Ductor
• Видео о серии индукторов

Поддержка

• Ремонт продукта и гарантия
• FAQ
• Регистрация продукта

Торговые посредники

• Авторизованные реселлеры
• Стать реселлером
• Вход на партнерский портал
• Регистрация на партнерском портале

О

• Контакт
• Познакомьтесь с командой
• Отзывы
• Присоединяйтесь к нашему списку рассылки
• Новости
• События
• Организации

Меню Купить сейчас

Сделка сегодня:

Сэкономьте 75 долларов при покупке Venom Mini-Ductor, стандартного комплекта катушек и пакета катушек Bearing Buddy

Купить сегодня

Master Techs использует индукционный нагрев вместо горелок

Нет более быстрого и безопасного способа удаления застрявших деталей и прочего

Научиться

Индукционный нагрев: предпочтение наиболее прибыльных ремонтных мастерских

Привлекайте лучших специалистов с помощью лучшего оборудования

Смотри как

Остановить сопутствующий ущерб

Горелки для сварки без снятия креплений

Учить больше

Удалите ветровые и другие стекла за считанные минуты

Сохраните стекло, оставьте ножи и провода в покое

Смотри как Индукционная плита

по лучшей цене в Индии

Популярные товары для индукционных плит

Коммерческое введение

69000 рупий

Mish Horeca Services Индукционная плита

575 рупий

Чудо-мир Индукционный вок

18000 рупий

Pankti International Индукционная плита

750 рупий

Техника Махараджи Индукционная плита

9000 рупий

Бренд Люди Солнечная индукционная плита

2500 рупий

GEIE Solar Products India Private Limited Солнечная индукционная плита

2500 рупий

Грин Рошни Индия Прайвит Лимитед Плита индукционная-СУРЯ КРИСТАЛЛ

750 рупий

Дж.J. Электрика Индукционная газовая плита

3500 рупий

Бытовая техника Rama Quba S2 Варочная панель

4,700

Tekshiv Systems Private Limited Рис 20 Индукционная плита Prestige

Индукционный каротаж — PetroWiki

Индукционный каротаж ^[1] был первоначально разработан для измерения удельного сопротивления пласта в скважинах, содержащих буровые растворы на нефтяной основе, и в скважинах, пробуренных воздухом, поскольку электродные устройства не могли работать в этих непроводящих скважинах.Однако, поскольку инструменты были просты в эксплуатации и требовали гораздо меньше поправок на диаграмму, чем боковые стволы или нормали, индукционные инструменты использовались в широком диапазоне солености скважины вскоре после их внедрения.

Принципы

Промышленные индукционные инструменты состоят из множества катушек, предназначенных для оптимизации разрешения по вертикали и глубины исследования. Однако, чтобы проиллюстрировать основы индукционного прибора, полезно сначала изучить основной строительный блок массивов с несколькими катушками, двухкатушечный зонд.

На рис. 1 показано, что двухкатушечный зонд состоит из передатчика и приемника, коаксиально установленных на оправке. Типичное расстояние между змеевиками составляет от 1 до 10 футов. На практике каждая катушка может содержать от нескольких до 100 и более витков, при этом точное количество витков определяется инженерными соображениями. Рабочая частота промышленных индукционных инструментов находится в диапазоне от десятков до сотен килогерц, причем до 1990 года наиболее часто использовалась частота 20 кГц.

• Фиг.1 — Схематическое изображение индукционной решетки из двух катушек, показывающее распределение токов, индуцируемых в пласте катушкой передатчика.

Катушка индукционного передатчика приводится в действие переменным током, который создает первичное магнитное поле вокруг катушки передатчика. Первичное магнитное поле заставляет вихревые токи течь с непрерывным круговым распределением (часто ошибочно называемым «контурами заземления») с центром вокруг оси ствола скважины. Цвет контуров в рис.1 показывает текущее распределение. Эти вихревые токи пропорциональны проводимости пласта и, в свою очередь, создают вторичное магнитное поле, которое индуцирует переменное напряжение в приемной катушке. Это напряжение приемника в первом порядке пропорционально проводимости пласта. ^[2]

Поскольку ток передатчика является переменным, существует фазовый сдвиг между током передатчика и плотностью тока в пласте. Этот фазовый сдвиг не одинаков во всех частях пласта — он увеличивается с увеличением расстояния в пласт ( рис.1 ). Точно так же фаза в приемнике еще больше смещается. При очень низкой проводимости общий фазовый сдвиг составляет примерно 180 ° и увеличивается с увеличением проводимости пласта. Индукционные инструменты всегда измеряли ту часть напряжения, которая сдвинута по фазе точно на 180 ° относительно тока передатчика (называемая R-сигналом). По мере увеличения проводимости и сдвига фазы напряжение было немного меньше, чем ожидалось из линейной зависимости. Эта разница называется скин-эффектом.Современные индукционные приборы выполняют дополнительное измерение при сдвиге фазы на 270 ° от тока передатчика (называемом Х-сигналом). Эти два измерения, выполненные в квадратуре, позволяют точно измерить фазу и амплитуду напряжения приемника.

Индукционная реакция

Для обеспечения адекватной чувствительности к незатронутой зоне индукционные инструменты обязательно включают сигналы от большого объема пласта. Задача состоит в том, чтобы точно определить, откуда происходит измерение в пласте.Долл определил геометрический фактор как двумерную функцию g ( ρ , z ), которая определяет часть полного сигнала, который исходит из бесконечно тонкой петли вокруг ствола скважины. Это определение действительно только при очень низкой проводимости. Моран определил модификацию геометрического фактора, которая действительна для низкоконтрастных образований при любой проводимости. Этот ответ известен как ответ Борна. ^[3]

Отклик на слои пласта определяется функцией отклика по вертикали g _V ( z ), которая определяется как интеграл функции отклика 2D g ( ρ , z ) по радиусу ρ .Отклик на радиальные изменения в толстом пласте определяется функцией радиального отклика g _R ( ρ ), которая определяется как интеграл от g ( ρ , z ) по z . Реакция массива на вторжение в толстый слой характеризуется интегрированным радиальным откликом G _R , который представляет собой совокупный интеграл g _R ( ρ ) по радиусу.

Массивы с несколькими катушками

Поскольку прямая взаимная связь передатчика и приемника двухкатушечной решетки может создавать напряжение в несколько тысяч раз больше, чем от пласта, двухкатушечные решетки нецелесообразны. Самая простая на практике матрица — это матрица из трех катушек с передатчиком и двумя приемниками. Второй приемник помещается между передатчиком и основным приемником и намотан в противоположных направлениях, так что напряжения в двух приемниках точно нейтрализуются, когда массив находится в свободном пространстве.Отклик — это сумма откликов пары катушек.

Одной из самых успешных индукционных решеток была матрица 6FF40, представленная в 1960 году. ^[4] Она имела три передатчика и три приемника с симметричным откликом Борна g . Фиг. 2 и 3 показывают его вертикальный и радиальный отклики. Массив был разработан для обеспечения глубокого исследования, разумного вертикального разрешения и низкого влияния ствола скважины. Однако большие пики в 2D-отклике вдоль инструмента привели к чувствительности к промыванию скважины, что называется эффектом пещеры.

• Рис. 2 — Функция вертикального отклика G (R) для массива 6FF40 при нескольких значениях проводимости пласта.

• Рис. 3 — Интегрированная функция радиального отклика G (R) для 6FF40 при различных значениях проводимости.

Инструменты с двойной индукцией

Одна из задач измерения удельного сопротивления пласта — отделить удельное сопротивление зоны проникновения от сопротивления девственной зоны.Самой ранней концепцией для успешного решения проблемы (по крайней мере, в толстых пластах с несложными профилями проникновения) был инструмент с двойной индукцией. Этот инструмент объединил массив 6FF40 для измерения глубокой индукции (ID или ILD) с набором приемников, которые работали с передатчиками 6FF40, чтобы производить более мелкие измерения. Это получило название индукции средней глубины (IM или ILm). ^{[5] [6]}

Поскольку существует три параметра в простейшей модели проникновения ступенчатого профиля, для определения этих параметров требуется по крайней мере три измерения.Неглубоким измерением был неглубокий латеролог (LL8 или SFL), размещенный вместе с индукционными решетками. Функция радиального отклика включает в себя очень сложную математику, и решением, предложенным пользователям двойных индукционных журналов, был графический решатель, называемый диаграммой торнадо.

Журналы ILD-ILM-SFL разделяются, когда есть вторжение, и это разделение позволяет интерпретировать параметры вторжения. На рис. 4 показан смоделированный отклик двойного индукционно-SFL прибора (DIT) в типичной продуктивной зоне Мексиканского залива при переходе через водную зону.

• Рис. 4 — Смоделированные каротажные диаграммы DIL в типичной формации Мексиканского залива в продуктивной зоне, переходной зоне и водной зоне.

Измерения ILm и ILd не зависят линейно от проводимости пласта. Эта нелинейность тесно связана с изменением формы отклика и глубины исследования с увеличением проводимости. Этот нелинейный отклик индукционной матрицы называется скин-эффектом, потому что он связан с эффектом «скин-эффекта» переменного тока, протекающего в проводниках.

К напряжениям инструмента должна быть применена какая-то функция, чтобы исправить эту нелинейность. Обработка, примененная к Schlumberger DIT ^[7] , состояла из функции скин-эффекта («усиления»), применяемой к измеренным R-сигналам от индукционных решеток. Это было основано на расчетах отклика в бесконечной однородной среде. ILd был дополнительно обработан с использованием трехуровневого деконволюционного фильтра для небольшого увеличения резкости перехода между слоем и границей и корректировки плечевого эффекта в ограниченном диапазоне удельного сопротивления (от 1 до 10 Ом • м).В других диапазонах удельного сопротивления формации отклик приводил либо к рупорным, либо к большим плечевым эффектам. Рис. 5 показывает каротажные диаграммы DIT в наборе слоев формации с такими же контрастами плечевого ложа, но с центрами на 1, 10 и 100 Ом • м.

• Рис. 5 — Смоделированные каротажные диаграммы DIT в наборе слоев пласта с теми же ограничениями плеча, но с центрами на 1, 10 и 100 Ом • м.

Поправка на ствол скважины также была вручную применена к индукционным каротажам и каротажам SFL.График коррекции ствола скважины был получен на основе измерений, выполненных с помощью DIT в пластиковых трубах, заполненных соленой водой. Инструмент с двойным индукционным мелким электродом на базе 6FF40 предлагался большинством сервисных компаний.

Индукционный фазор

Инструмент DIT стал стандартным инструментом для измерения удельного сопротивления и оставался практически неизменным более 20 лет. Однако по мере того, как его применение перешло от первоначальной формации в Мексиканском заливе к пластам с более высоким удельным сопротивлением, проблема плечевого эффекта стала намного хуже.Хотя диаграммы коррекции плеча были предоставлены для высокого удельного сопротивления, они в основном указывали на то, что проблема серьезна, а не служили полезным механизмом коррекции.

Основная проблема при интерпретации индукционного каротажа состоит в том, чтобы изолировать реакцию тонкого пласта и девственной зоны от уступов и зоны проникновения после того, как процесс измерения их тщательно смешал. Индукционный инструмент Phasor был представлен в середине 80-х годов прошлого века и стал первым инструментом для автоматизации внесения поправок на окружающую среду.Он использует функцию линейной деконволюции для коррекции эффекта плеча и использует измерение X-сигнала для коррекции скин-эффекта. Этот алгоритм лег в основу Phasor Processing. ^[8] Можно показать, что фильтр, настроенный на низкую проводимость, хорошо работает при низкой проводимости, но дает большие ошибки при высокой проводимости. Однако ошибка — это медленно меняющаяся функция, тесно связанная с X-сигналом. Алгоритм, применяемый к X-сигналу для согласования его с ошибкой скин-эффекта, позволяет одному FIR-фильтру корректировать эффект плеча в широком диапазоне проводимостей.

Рис. 6 показывает результаты обработки Phasor в моделях пласта Рис. 5 . Индукционные журналы полностью скорректированы на эффект плеча на всех уровнях проводимости. Фазорные журналы в модели в Мексиканском заливе (рис. 4) не сильно отличаются от журналов DIT. Отчасти это связано с тем, что именно в этой формации журналы DIT были разработаны для хорошей работы. Хотя диаграммы торнадо были опубликованы для индукционных каротажных диаграмм Phasor, параметры вторжения рассчитываются в реальном времени на буровой площадке.Поправки по стволу скважины основаны на компьютерных моделях эксцентричного инструмента в широком диапазоне солености ствола скважины и проводимости пласта. ^[9] Поправки по стволу скважины применяются в реальном времени на буровой площадке. Индукционный прибор Phasor был первым индукционным прибором, который мог обеспечить полную коррекцию окружающей среды и определение параметров проникновения на буровой площадке. В 1987 году изменения в фильтрах деконволюции позволили проводить индукционные каротажные диаграммы с вертикальным разрешением 2 фута (по сравнению с 5 футами для ILm и 8 футов для ILd).

• Рис. 6 — Фазорные журналы в случаях, показанных на рис. 5.

Инструменты с двойной индукцией, которые измеряли сигналы R и X и применяли автоматическую коррекцию плечевого эффекта, были представлены Atlas (инструмент двухфазной индукции или DPIL) и Gearhart (инструмент индукции высокого разрешения или инструмент HRI). Инструмент HRI также достиг вертикального разрешения 2 фута. Это был также первый инструмент с двойной индукцией, основанный на массиве, отличном от 6FF40.Его глубокая матрица имела среднюю глубину исследования примерно 90 дюймов. После распада Gearhart компания Halliburton приобрела инструмент HRI и ввела его в коммерческий оборот.

Однако все эти инструменты основаны на двух индукционных решетках — неглубокой и глубокой. Производительность в сложных профилях вторжения ограничена небольшим количеством измерений. На рис. 7 показаны диаграммы Phasor при моделировании, взятые из полевой диаграммы в газовом пласте. Здесь образовалось кольцевое пространство, и значение глубинного бревна намного меньше, чем R _t .В этой скважине трехпараметрическая модель вторжения не вернет правильное значение R _t .

• Рис. 7 — Диаграммы фазора при моделировании газоносного пласта, в котором образовалось кольцевое пространство.

В случае бурового раствора на масляной основе (OBM) SFL не используется. Разделение между средними и глубокими бревнами является лишь качественным признаком инвазии и не поддается количественной интерпретации.

Индукционные инструменты

С инструментом Phasor Induction концепция двойной индукции достигла своих пределов. В частности, были необходимы улучшения в более точных оценках R _т при наличии глубоких вторжений или сложных переходных зон. По мере того, как более грубые искажения окружающей среды были исправлены с помощью Phasor Processing или аналогичной обработки, профили кольцевого пространства и другие переходы встречались чаще.

Эти проблемы с откликом в сочетании с все более широким использованием OBM привели к концепции использования нескольких индукционных решеток с разной глубиной исследования.Когда проблемы применения линейных фильтров деконволюции были решены, подход Долла с использованием простого массива был применим. Schlumberger AIT был разработан с восемью простыми решетками из трех катушек длиной от 6 дюймов до 6 футов ^[10]

Принципы индукционной матрицы

Первым шагом в формировании каротажа в семействе инструментов AIT является корректировка всех необработанных сигналов массива с учетом влияния скважины. Этот процесс основан на прямой модели массивов в круглом стволе скважины и включает в себя точное описание инструмента в модели. ^[11]

Сигнал, измеренный индукционным зондом, эксцентрично установленным в стволе скважины, может быть описан математически как функция четырех параметров. Это радиус скважины r , проводимость бурового раствора σ _м , проводимость пласта σ _f и положение инструмента x по отношению к стенке скважины (обычно называемое как «противостояние»).

Алгоритм коррекции разработан для решения некоторых из этих параметров путем минимизации разницы между смоделированными и фактическими каротажами из четырех самых коротких массивов.Информационного содержания этих измерений недостаточно для решения всех параметров скважины одновременно. На практике этим методом можно надежно определить два из четырех параметров. Два других параметра необходимо либо измерить, либо зафиксировать. Эквивалентная проводимость однородного пласта σ _f всегда должна быть решена, потому что никакие измерения не связаны с ней достаточно тесно. Остается определить один из других параметров, а оставшиеся два параметра необходимо ввести как измерения.Это приводит к трем методам коррекции ствола скважины для вычисления удельного сопротивления бурового раствора, диаметра ствола и зазора. Все AIT, кроме оригинального AIT-B, имеют встроенные датчики удельного сопротивления бурового раствора, ^[12] и «вычислить зазор» является методом коррекции ствола по умолчанию в буровом растворе на водной основе (WBM).

Был разработан метод ^[13] для объединения этих измерений массива для фокусировки полученного каротажа на желаемую глубину исследования, в то же время делая это с высоким разрешением по вертикали и минимизируя эффект пещеры.Процесс формирования бревна описывается уравнением

……………….. (1)

В этом уравнении σ _log — это записанный журнал AIT, σ _a ^{( n )} — измеренный лог из канала n -го, а N — общий количество каналов измерения. В результате этого процесса создается журнал, отличный от журнала, создаваемого любым из отдельных массивов. Он по-прежнему характеризуется функцией отклика.Эта функция отклика представляет собой взвешенную сумму функций отклика каждого из отдельных каналов n . Скин-эффект обрабатывается аналогично инструменту Phasor.

Результатом этого уравнения является комбинация журналов из восьми массивов, которая «перегоняет» радиальную информацию из восьми массивов в пять независимых журналов с глубиной исследования 10, 20, 30, 60 и 90 дюймов. из этих пяти журналов доступны с разрешением 1, 2 и 4 фута. Радиальный профиль идентичен для всех разрешений, а вертикальное разрешение одинаково для всех радиальных глубин.Набор весов w в Eq. 1 определяет, какое бревно будет произведено.

Если буровой раствор очень соленый или если ствол скважины очень большой, сигнал в массивах AIT от ствола скважины будет очень большим. В случае соленого бурового раствора даже нормальные колебания поверхности ствола скважины в результате операции бурения могут вызвать «покачивания» данных короткого массива. Несколько лет практики показали, что это может повлиять на окончательные бревна, особенно бревна длиной 1 фут. Этот опыт показал, что в 8-дюйм.

No related posts.