Формула для расчета площади: Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

Доказательство

Пусть \(S\) – площадь треугольника \(ABC\). Примем сторону \(AB\) за основание треугольника и проведём высоту \(CH\). Докажем, что \[S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH.\] Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:

Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\)), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь \(S\) треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\), то есть \(S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH\).

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_2B_2C_2\) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство

Пусть \(\angle A=\angle A_2\). Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка \(A\) совместилась с точкой \(A_2\)):

Проведем высоты \(BH\) и \(C_2K\).

Треугольники \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имеют одинаковую высоту \(C_2K\), следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\]

Треугольники \(ABC_2\) и \(ABC\) имеют одинаковую высоту \(BH\), следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]

Перемножая последние два равенства, получим: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB_2\cdot AC_2}{AB\cdot AC} \qquad \text{ или } \qquad \dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{A_2B_2\cdot A_2C_2}{AB\cdot AC}\]

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Пусть \(p\) – полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) – длины его сторон, тогда его площадь равна \[S_{\triangle}=\sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\]

\[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\]

Замечание

Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Теорема

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\). Обозначим \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):

Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:

\(\begin{multline*} S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}\)

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S_{\text{ромб}}=\dfrac12 d_1\cdot d_2\]

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\). Проведем \(CD’\parallel AB\), как показано на рисунке:

Тогда \(ABCD’\) – параллелограмм.

Проведем также \(BH’\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH’=CH\) – высоты трапеции).

Тогда \(S_{ABCD’}=BH’\cdot AD’=BH’\cdot BC, \quad S_{CDD’}=\dfrac12CH\cdot D’D\)

Т.к. трапеция состоит из параллелограмма \(ABCD’\) и треугольника \(CDD’\), то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:

\[S_{ABCD}=S_{ABCD’}+S_{CDD’}=BH’\cdot BC+\dfrac12CH\cdot D’D=\dfrac12CH\left(2BC+D’D\right)=\] \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD’+D’D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой(.), а не с запятой!

Через основание и высоту

\(a\) — основание

\(h\) — высота

\(a =\)    \(h =\)

Через две стороны и угол

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\( \alpha \) — угол между сторонами \(a\) и \(b\)

\(a =\)    \(b =\)    \( \alpha =\)

Формула Герона

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)    \(b =\)    \(c =\)

Через радиус вписанной окружности

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(r =\)    \(p =\)

Через радиус описанной окружности

\(S\) — площадь треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(a =\)   \(b =\)

\(c =\)   \(R =\)

Площадь прямоугольного треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(a =\)    \(b =\)

Площадь прямоугольного треугольника

\(d =\)    \(e =\)

Формула Герона для прямоугольного треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)    \(b =\)    \(p =\)

Площадь равнобедренного треугольника

\(a\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами

\(a =\)    \( \alpha =\)

Площадь равнобедренного треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(a =\)    \(b =\)    \( \alpha =\)

Площадь равнобедренного треугольника

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(b =\)    \(\alpha =\)

Формула Герона для равнобедренного треугольника

Площадь равностороннего треугольника

\(a\) — сторона

\(a =\)

Площадь равностороннего треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(R =\)

Площадь равностороннего треугольника

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(r =\)

Площадь равностороннего треугольника

\(h\) — высота

\(h =\)

Площадь треугольника — Формула Герона

Итак, что вы будете делать, если вам известны только три длины сторон?

Всего два шага.

Шаг 2: Используйте s в следующей формуле:

Давайте воспользуемся формулой, чтобы определить площадь треугольника выше.

Таким образом, значение s равно половине 50 или 25.

Шаг 2: Замените s в формуле площади на 25 и решите.

A =

A =

A =

A = 93,7 м ²

Вот еще пара примеров, которые стоит попробовать.

Пример 1:

Шаг 1: Определите половину периметра.

Шаг 2: Используйте s в формуле Герона.

A =

A =

A = 24 шт. ²

A =

A = 24 единицы ²

Здесь мы имеем тот же ответ, что и при использовании метода Герона.

Пример 2:

s =

s = 15,5

Шаг 2: Используйте s в формуле Герона.

Если решение нерационально, ответ можно округлить. В этом примере мы округлили до ближайшей десятой.

Давайте рассмотрим

Если вам даны три стороны треугольника, вы можете использовать периметр и формулу Герона для определения площади. Всего два шага.

Шаг 1: Определите половину периметра.

Шаг 2: Используйте три длины стороны и половину периметра в формуле Герона.

На некоторых площадях будут иррациональные номера. Это означает, что их нельзя представить в виде дроби. Вместо этого они десятичные, которые никогда не заканчиваются и никогда не повторяются. Когда это происходит, площадь можно округлить до любого числового значения, о котором вас могут попросить.

Формула треугольника — Типы треугольников

Примечание: Два оставшихся угла прямоугольного треугольника всегда являются острыми углами.Важное свойство прямоугольных треугольников — это теорема Пифагора . В нем указано, что в прямоугольном треугольнике, сумма квадратов основания и перпендикуляра равна квадрату Гипотенузы треугольника.

На рисунке выше DABC представляет собой прямоугольный треугольник, поэтому (AB) ² + (AC) ² = (BC) ² . Здесь AB = 6 и AC = 8, поэтому BC = 10, так как 6 ² + 8 ² = 36 + 64 = 100 = (BC) ² и BC = & redic; 100.

Обязательно читать статьи о треугольниках

Любой треугольник, в котором длины сторон находятся в соотношении 3: 4, всегда является прямоугольным треугольником.

В общем случае, если x, by и z — длины сторон треугольника, в котором x ² + y ² = z ² , тогда треугольник называется прямоугольным.

Есть несколько пифагоровых троек, которые часто используются в вопросах. Эти тройни лучше запомнить.

1. 3, 4 и 5
2. 5, 12 и 13
3. 7, 24 и 25
4. 8, 15 и 17
5. 9, 40 и 41
6. 11, 60 и 61
7. 12, 35 и 37
8. 16, 63 и 65
9. 20, 21 и 29
10. 28, 45 и 53.

Любое кратное этих троек Пифагора также будет триплетом Пифагора, т.е. когда мы говорим, что это тройка 5,12,13, если мы умножим все эти числа на 3, это также будет тройка i.е. 15, 36, 39 также будут триплетом Пифагора.

(iv) 45 ° -45 ° -90 ° Треугольник : специальные треугольники: если три угла треугольника составляют 45 °, 45 ° и 90 °, тогда перпендикулярная сторона этого прямоугольного треугольника в 1/2 раза больше гипотенузы треугольника. В треугольнике 45 ° — 45 ° — 90 ° длины трех сторон этого треугольника находятся в соотношении 1: 1: & redic; 2.

Например, в ∆PQR, если PR = 2 см, то PQ = & redic; 2 см, а QR = & redic; 2 см.

(v) 30 ° — 60 ° — 90 ° Треугольник : В треугольнике 30 ° — 60 ° — 90 °, длины трех сторон этого треугольника находятся в соотношении 1: & redic; 3: 2. Например, в ∆ABC, если AC = 3, то AB = 3 & redic; 3 и BC = 6. Подводя итог, приведенные ниже формулы могут быть применены для расчета две другие стороны треугольника 30 ° — 60 ° -90 °, если задана одна из трех сторон.

Сторона, противоположная 30 ° = ½ гипотенузы.

Сторона, противоположная 60 ° = & redic; 3/2 гипотенузы.

Некоторые важные свойства треугольников

(i) Сумма трех внутренних углов треугольника равна 180 °.

In ∆ABC, ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180 °

(ii) Сумма внутреннего угла и прилегающего внешнего угла составляет 180 °.

На рисунке на предыдущей странице ABC + ∠ABH = 180 °

ABC + ∠CBI = 180 °

(iii) Два внешних угла с одинаковой вершиной конгруэнтны.

(iv) Мера внешнего угла равна сумме размеров двух внутренних углов (называемых удаленными внутренними углами) треугольника, не прилегающего к нему.

(vi) Сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.

В ∆ABC AB + BC> AC, также AB + AC> BC и AC + BC> AB.

(vii) Разница любых двух сторон всегда меньше, чем у третьей стороны.

Высота: Высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины, перпендикулярной стороне, противоположной этой вершине. Относительно этой вершины и высоты противоположная сторона называется основанием.

Площадь треугольника равна: (длина высоты) × (длина основания) / 2.

BD = 5

В ∆ABC BD — это высота до основания AC, а AE — высота до основания BC.

Формула треугольника : Площадь треугольника ∆ABC равна ½ × BD × AC = ½ × 5 × 8 = 20.

Площадь треугольника также равна (AE × BC) / 2. Если DABC выше равнобедренный и AB = BC, то высота BD делит основание пополам; то есть AD = DC = 4. Аналогично, любая высота равностороннего треугольника делит пополам сторону, к которой он обращен.

Конгруэнтность треугольников : Если стороны и углы одного треугольника равны соответствующим сторонам и углам другого треугольника, то два треугольника называются конгруэнтными.

Два треугольника равны, если

• Две стороны и включенный угол треугольника соответственно равны двум сторонам и включенному углу другого треугольника (SAS).
• 2 угла и 1 сторона треугольника равны соответственно двум углам и соответствующей стороне другого треугольника (AAS).
• Три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника (SSS).
• 1 сторона и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно конгруэнтны 1 стороне и гипотенузе другого правого треугольника.треугольник (RHS).

Подобие треугольников:

Говорят, что два треугольника похожи друг на друга, если они похожи только по форме. Соответствующие углы этих треугольников равны, но соответствующие стороны только пропорциональны. Все конгруэнтные треугольники подобны, но все похожие треугольники не обязательно конгруэнтны.

Два треугольника похожи, если

• Три стороны треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника (SSS).
• Два угла треугольника равны двум углам другого треугольника (AA) соответственно.
• Две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а входящие углы равны (SAS).

Свойства треугольников :

• Если два треугольника похожи, отношения сторон = отношение высот = отношение медиан = отношение биссектрис угла = отношение внутренних радиусов = отношение радиусов окружности.
• Соотношение площадей = b ₁ h ₁ / b ₂ h ₂ = (s ₁ ) ² / (s ₂ ) ² , где b ₁ & h ₁ — это основание и высота первого треугольника, а b ₂ и h ₂ — основание и высота второго треугольника.s ₁ & s ₂ — соответствующие стороны первого и второго треугольника соответственно.
• Два треугольника на каждой стороне перпендикуляра, проведенного от вершины прямого угла к наибольшей стороне, т. Е. Гипотенуза, похожи друг на друга и также похожи на больший треугольник.

∆ DBA аналогичен ∆ DCB, который аналогичен ∆ BCA.

• Высота от вершины прямого угла до гипотенузы — это среднее геометрическое значение отрезков, на которые делится гипотенуза.

то есть (DB) ² = AD * DC

Центр окружности : Центр окружности является центром окружности окружности треугольника.